مسائل رياضيات

حساب قيم المثلث الباسكالي. (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي إيجاد قيمة $\binom{25}{5}$ استنادًا إلى المعطيات التالية: $\binom{23}{3}=1771$, $\binom{23}{4}=8855$, و$\binom{23}{5}=33649$.

لحل هذه المسألة، سنستخدم خاصية “المثلث الباسكالي” لحساب الأعداد المثلثية. هذه الخاصية تقوم بتوفير طريقة لحساب مجموعات القيم المختلفة التي يمكن اختيارها من مجموعة معينة.

لنقوم بحساب $\binom{25}{5}$، نستخدم العلاقة التالية:

(nr)=(n1r)+(n1r1)\binom{n}{r} = \binom{n-1}{r} + \binom{n-1}{r-1}

حيث أن $\binom{n}{r}$ هو عدد الطرق التي يمكن فيها اختيار $r$ عنصرًا من بين $n$ عناصر.

بدايةً، سنستخدم المعطيات المعطاة لنقوم ببناء المثلث الباسكالي بشكل تتابعي. لدينا:

(233)=1771\binom{23}{3}=1771
(234)=8855\binom{23}{4}=8855
(235)=33649\binom{23}{5}=33649

الآن، سنقوم بحساب $\binom{24}{4}$ بالاعتماد على المعادلة السابقة:

(244)=(234)+(233)=8855+1771=10626\binom{24}{4} = \binom{23}{4} + \binom{23}{3} = 8855 + 1771 = 10626

ثم سنقوم بحساب $\binom{24}{5}$:

(245)=(235)+(234)=33649+8855=42504\binom{24}{5} = \binom{23}{5} + \binom{23}{4} = 33649 + 8855 = 42504

أخيرًا، سنحسب $\binom{25}{5}$:

(255)=(245)+(244)=42504+10626=53130\binom{25}{5} = \binom{24}{5} + \binom{24}{4} = 42504 + 10626 = 53130

لذا، القيمة المطلوبة هي $\binom{25}{5} = 53130$.

المزيد من المعلومات

لحل المسألة وايجاد قيمة $\binom{25}{5}$ استخدمنا مفهوم “المثلث الباسكالي” وقوانين الجمع والطرح في حساب الأعداد المثلثية.

  1. المثلث الباسكالي:
    المثلث الباسكالي هو ترتيب من الأعداد يبدأ من واحد في الصف الأعلى، وكل عنصر في الصف يتكون من مجموعة من الأعداد الموجودة في الصف العلوي مع العنصر الذي يسبقه في الصف السابق. على سبيل المثال، الصف الثالث في المثلث الباسكالي يكون له القيم: 1، 2، 1، حيث يتكون العنصر الأول والأخير دائمًا من واحد، والعناصر الوسيطة تتكون من مجموعة العناصر في الصف السابق.

  2. قانون الجمع:
    قانون الجمع يتيح لنا جمع قيمتين مختلفتين من المثلث الباسكالي للحصول على قيمة جديدة. يتم ذلك عن طريق جمع قيمة العنصر في نفس العمود والصف في المثلث الباسكالي.

  3. قانون التفاضل:
    قانون التفاضل يسمح لنا بحساب قيمة جديدة من المثلث الباسكالي عن طريق طرح قيمة عنصر من العنصر الذي يسبقه في الصف السابق.

الآن، نبدأ بالترتيب بحسب المعطيات المعطاة:

  • نقوم بحساب $\binom{24}{4}$ بجمع قيم $\binom{23}{4}$ و$\binom{23}{3}$ لأن الرقم 24 هو العدد التالي بعد 23.
  • بعد ذلك، نحسب $\binom{24}{5}$ بجمع قيم $\binom{23}{5}$ و$\binom{23}{4}$.
  • أخيرًا، نحسب $\binom{25}{5}$ بجمع قيم $\binom{24}{5}$ و$\binom{24}{4}$.

القوانين المستخدمة هي الجمع والطرح في المثلث الباسكالي، حيث يتم تطبيق هذه القوانين لحساب الأعداد المثلثية وفقا للعلاقة $\binom{n}{r} = \binom{n-1}{r} + \binom{n-1}{r-1}$ والتي تمكننا من حساب قيم مختلفة من المثلث الباسكالي بشكل متسلسل.