حساب قيمة z باستخدام الإسقاط الرياضي (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

لنقوم بحساب قيمة $z$ في الناقلة $\begin{pmatrix} 0 \ 3 \ z \end{pmatrix}$ عندما تكون قد تم إسقاطها على الناقلة $\begin{pmatrix} -3 \ 5 \ -1 \end{pmatrix}$ ويكون الإسقاط الناتج هو $\frac{12}{35} \begin{pmatrix} -3 \ 5 \ -1 \end{pmatrix}$.

الحل:

لنكن $v$ الناقلة المطلوب إجراء الإسقاط عليها، أي $v = \begin{pmatrix} -3 \ 5 \ -1 \end{pmatrix}$، ولنكن $u$ الناقلة التي سيتم إسقاطها، أي $u = \begin{pmatrix} 0 \ 3 \ z \end{pmatrix}$.

نستخدم صيغة الإسقاط المشتركة المعروفة:

$\text{proj}_v(u) = \frac{u \cdot v}{\|v\|^2} \cdot v$

حيث $u \cdot v$ هو الضرب النقطي بين $u$ و $v$، و$|v|^2$ هو مربع طول $v$.

وفقًا للمعطيات، يعطى لنا الإسقاط $\frac{12}{35} \begin{pmatrix} -3 \ 5 \ -1 \end{pmatrix}$.

لنقوم بحساب القيم:

$u \cdot v = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix} = -3 \cdot 0 + 5 \cdot 3 + (-1) \cdot z = 15 – z$

$\|v\|^2 = \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix} = (-3)^2 + 5^2 + (-1)^2 = 9 + 25 + 1 = 35$

الآن نستخدم هذه القيم في صيغة الإسقاط:

$\frac{u \cdot v}{\|v\|^2} \cdot v = \frac{15 – z}{35} \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}$

وبما أن هذا الإسقاط يساوي الإسقاط المعطى في المعلومات، نحصل على المعادلة التالية:

$\frac{15 – z}{35} \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix} = \frac{12}{35} \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}$

نقارن المكونات المتناظرة للطرفين ونحسب قيمة $z$:

$\frac{15 – z}{35} \cdot (-3) = \frac{12}{35} \cdot (-3)$

نقوم بإلغاء الأسماء المشتركة وحساب $z$:

$15 – z = 12$

$-z = 12 – 15$

$-z = -3$

$z = 3$

إذا كانت قيمة $z$ هي 3.

حل المسألة:

لنقوم بحساب قيمة $z$، نستخدم قانون الإسقاط على الناقلة. لنكن $v$ هي الناقلة المطلوب إجراء الإسقاط عليها، أي $v = \begin{pmatrix} -3 \ 5 \ -1 \end{pmatrix}$، ولنكن $u$ هي الناقلة التي سنقوم بإجراء الإسقاط عليها، أي $u = \begin{pmatrix} 0 \ 3 \ z \end{pmatrix}$.

قانون الإسقاط يُعبر عنه بالصيغة التالية:

$\text{proj}_v(u) = \frac{u \cdot v}{\|v\|^2} \cdot v$

حيث $u \cdot v$ هو الضرب النقطي بين $u$ و $v$، و$|v|^2$ هو مربع طول $v$.

في هذه المسألة، نحسب $u \cdot v$ و $|v|^2$ ونستخدمهما في قانون الإسقاط لحساب $\text{proj}_v(u)$.

1. حساب $u \cdot v$:

$u \cdot v = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix} = -3 \cdot 0 + 5 \cdot 3 + (-1) \cdot z = 15 – z$

2. حساب $|v|^2$:

$\|v\|^2 = \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix} = (-3)^2 + 5^2 + (-1)^2 = 9 + 25 + 1 = 35$

3. حساب $\text{proj}_v(u)$ باستخدام قانون الإسقاط:

$\text{proj}_v(u) = \frac{u \cdot v}{\|v\|^2} \cdot v = \frac{15 – z}{35} \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}$

وبما أن هذا الإسقاط يتساوى مع الإسقاط المعطى في المعلومات، نحصل على المعادلة التالية:

$\frac{15 – z}{35} \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix} = \frac{12}{35} \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}$

نقوم بمقارنة المكونات المتناظرة للطرفين ونحسب قيمة $z$:

$\frac{15 – z}{35} \cdot (-3) = \frac{12}{35} \cdot (-3)$

نقوم بإلغاء الأسماء المشتركة وحساب $z$:

$15 – z = 12$

$-z = 12 – 15$

$-z = -3$

$z = 3$

القوانين المستخدمة:

1. قانون الإسقاط:
   $\text{proj}_v(u) = \frac{u \cdot v}{\|v\|^2} \cdot v$

2. الضرب النقطي:
   $u \cdot v = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$

3. طول الناقلة:
   $\|v\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$

حيث $u_i$ و $v_i$ هي مكونات الناقلتين $u$ و $v$ على التوالي.