حساب قيمة Sec(5π/3) باستخدام الزوايا المركبة والجيبيات (مسألة رياضيات)

قيمة التمام للزاوية المركبة $\frac{5\pi}{3}$ هي $\frac{\pi}{3}$. لحساب قيمة الدالة الجيبية الثنائية $\sec(\theta)$ فيجب أولاً حساب قيمة الجيبية الكوسينية $\cos(\theta)$، ومن ثم قسمة القيمة المعكوسة للكوسين $\frac{1}{\cos(\theta)}$.

نعلم أن قيمة الجيبية الكوسينية للزاوية $\frac{\pi}{3}$ تكون $\frac{1}{2}$، إذاً:

$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$

الآن، نقوم بحساب القيمة المعكوسة:

$\sec\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

إذاً، قيمة $\sec\left(\frac{5\pi}{3}\right)$ هي 2.

لحساب قيمة $\sec\left(\frac{5\pi}{3}\right)$، نحتاج إلى تفصيل الحل باستخدام القوانين الزاوية المركبة والجيبيات. نستخدم قانون جيبية الزاوية المركبة للتعبير عن الزاوية المركبة $\frac{5\pi}{3}$ بزاويتين معروفتين:

$\frac{5\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{3}$

تعتبر $\frac{4\pi}{3}$ زاوية معروفة تمثل الجزء الزائد عن الدورة الكاملة بزاوية $\frac{\pi}{3}$.

القانون الثاني الذي نستخدمه هو قانون الجيبيات، الذي يرتبط الزاوية المركبة بالجيبيات الأساسية بالشكل التالي:

$\sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)}$

نعلم أن قيمة الجيبية الكوسينية للزاوية $\frac{\pi}{3}$ تكون $\frac{1}{2}$، وذلك استنادًا إلى الدائرة الوحدة. لذا:

$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$

الآن، نستخدم هذه القيمة في قانون الجيبيات لحساب $\sec\left(\frac{5\pi}{3}\right)$:

$\sec\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \frac{1}{\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)}$

باستخدام العلاقة التي أوضحناها سابقًا:

$\frac{1}{\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)} = \frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)}$

ثم نستخدم قيمة $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$:

$\frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

إذًا، قيمة $\sec\left(\frac{5\pi}{3}\right)$ هي 2. في هذا الحل، استخدمنا قوانين الزوايا المركبة والجيبيات للوصول إلى القيمة النهائية.