حساب قيمة Sec 120° (مسألة رياضيات)

نبدأ بإعادة صياغة المسألة باللغة العربية:

ابحث عن قيمة $\sec 120^\circ$.

الآن سنقوم بحل المسألة:

نعلم أن $\sec \theta$ يمثل الجيب العكسي للكوسين، ويمكن حسابه بالصيغة $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$. لذلك يجب أن نحسب قيمة $\cos 120^\circ$ أولاً.

لحساب $\cos 120^\circ$، نستفاد من العلاقة بين قيم الدوال الزاوية ونعلم أن $\cos (180^\circ – \theta) = -\cos \theta$، لذا يمكننا كتابة $\cos 120^\circ = -\cos (180^\circ – 120^\circ) = -\cos 60^\circ$.

الآن، يعتبر زاوية $60^\circ$ مألوفة لدينا ونعلم أن $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$، لكن بسبب العلامة السالبة التي حصلنا عليها من المعادلة السابقة، نضرب الناتج في $-1$.

إذاً:
$\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}.$

الآن، نستخدم هذه القيمة لحساب $\sec 120^\circ$ بواسطة الصيغة $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$:
$\sec 120^\circ = \frac{1}{\cos 120^\circ} = \frac{1}{-\frac{1}{2}} = -2.$

إذاً، قيمة $\sec 120^\circ$ هي $-2$.

سنبدأ بحساب قيمة $\cos 120^\circ$ باستخدام القانون المتعلق بقيم الدوال الزاوية في المثلث. يمكن تطبيق القانون التالي:
$\cos (180^\circ – \theta) = -\cos \theta.$

نريد حساب $\cos 120^\circ$، لذا سنستخدم هذا القانون مع $\theta = 60^\circ$:
$\cos 120^\circ = -\cos (180^\circ – 120^\circ) = -\cos 60^\circ.$

في هذه اللحظة، نعلم أن $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$، ولكن بسبب العلامة السالبة في المعادلة السابقة، سنضرب الناتج في $-1$:
$\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}.$

الآن، نقوم بحساب قيمة $\sec 120^\circ$ باستخدام القانون المتعلق بالتماثل بين الدوال. نعلم أن $\sec \theta$ هو الجيب العكسي للكوسين ويمكن حسابه بالصيغة:
$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}.$

نستخدم هذه الصيغة لحساب $\sec 120^\circ$ بعد حساب $\cos 120^\circ$:
$\sec 120^\circ = \frac{1}{\cos 120^\circ} = \frac{1}{-\frac{1}{2}} = -2.$

القوانين المستخدمة في هذا الحل هي:

1. قانون التماثل في المثلث:
   $\cos (180^\circ – \theta) = -\cos \theta.$

2. صيغة جيب الزاوية:
   $\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta}.$

هذه القوانين تعتمد على العلاقات بين قيم الدوال الزاوية وتساعد في حساب قيم الدوال في زوايا مختلفة.