حساب قيمة $r^8 + s^8$ في المعادلة التربيعية (مسألة رياضيات)

لنعيد صياغة المسألة باللغة العربية:

لنفترض أن $r$ و $s$ تمثلان الجذور المعقدة للمعادلة التالية: $x^2 – x\sqrt{5} + 1 = 0.$ احسب قيمة التعبير $r^8 + s^8.$

الحل:

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام العلاقات الرياضية بين جذور المعادلة والأعداد المرتبطة بها. في هذه الحالة، يمكننا استخدام تسلسل الفيبوناتشي.

أولاً، لنجد قيمة $r + s$ و $rs$ باستخدام معادلة الجذور:

من المعادلة $x^2 – x\sqrt{5} + 1 = 0$، نعرف أن $r + s = \sqrt{5}$ و $rs = 1$.

الآن، لنستخدم معادلات توافق القوى للوصول إلى حل $r^8 + s^8$.

نعرف أن:
$r^8 + s^8 = (r^4)^2 + (s^4)^2$

وباستخدام هويات التوافق في التعبيرات، نجد:
$r^8 + s^8 = (r^4 + s^4)^2 – 2(r^4)(s^4)$

الآن، لدينا قيم $r^4$ و $s^4$.

باستخدام هويات التوافق مرة أخرى، نجد:
$r^4 + s^4 = (r^2 + s^2)^2 – 2(r^2)(s^2)$

نحتاج إلى قيمة $r^2$ و $s^2$.

من معادلة الجذور، يمكننا معرفة أن:
$r^2 + s^2 = (r + s)^2 – 2rs = (\sqrt{5})^2 – 2 = 5 – 2 = 3$

والآن نستطيع حساب $r^4$ و $s^4$:
$r^4 + s^4 = (3)^2 – 2(1) = 9 – 2 = 7$

الآن، بعد أن حصلنا على قيمة $r^4 + s^4$، يمكننا استخدامها لحساب $r^8 + s^8$:
$r^8 + s^8 = (r^4 + s^4)^2 – 2(r^4)(s^4) = (7)^2 – 2(7) = 49 – 14 = 35$

إذاً، $r^8 + s^8 = 35$.

لحل المسألة وحساب قيمة $r^8 + s^8$، نحتاج إلى الاعتماد على عدة مفاهيم وقوانين في الجبر ونظرية المعادلات. سنستخدم بعض الخطوات الأساسية في الجبر للتعامل مع الأعداد التشابهية وتحويل التعبيرات للوصول إلى الحل النهائي.

القوانين والمفاهيم المستخدمة تشمل:

1. معادلة الجذور: إذا كانت $r$ و $s$ هما الجذور لمعادلة من الدرجة الثانية $ax^2 + bx + c = 0$، فإن $r + s = -\frac{b}{a}$ و $rs = \frac{c}{a}$.

2. هويات التوافق: هذه الهويات تمكننا من تحويل تعابير معقدة إلى تعابير أبسط بواسطة توسيع التعبيرات واستخدام العلاقات بين الأسس والأساسين.

3. التعبيرات الأسية: في هذه المسألة، نقوم برفع التعبيرات الأسية إلى قوة أكبر واستخدام العلاقات بين الأسس لتبسيط التعابير.

الخطوات التفصيلية لحل المسألة هي كالتالي:

1. نستخدم معادلة الجذور للعثور على قيم $r$ و $s$، اللتين هما الجذور للمعادلة $x^2 – x\sqrt{5} + 1 = 0$. من هذه المعادلة، نحصل على $r + s = \sqrt{5}$ و $rs = 1$.

2. نحسب $r^8 + s^8$ باستخدام هويات التوافق والتعبيرات الأسية. نبدأ بتحويل $r^8 + s^8$ إلى تعبير يحتوي على $r^4$ و $s^4$، وذلك باستخدام هويات التوافق.

3. نحسب $r^4 + s^4$ باستخدام هويات التوافق مرة أخرى، وذلك بتحويلها إلى تعبير يحتوي على $r^2$ و $s^2$.

4. نحسب $r^2 + s^2$ باستخدام معادلة الجذور ونعرف أن $r^2 + s^2 = (r + s)^2 – 2rs$.

5. بعد الحصول على قيمة $r^2 + s^2$، نحسب $r^4 + s^4$ باستخدام هويات التوافق.

6. أخيرًا، بعد الحصول على قيمة $r^4 + s^4$، نستخدمها لحساب $r^8 + s^8$ باستخدام هويات التوافق.

تمثل هذه الخطوات استخدام العديد من المفاهيم في الجبر وتحويل التعابير لحساب القيم بطريقة فعالة ومنطقية.