مسائل رياضيات

حساب قيمة $\dbinom{16}{5}$ (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 12/03/2024
0

قيمة $\dbinom{16}{5}$ تُمثل عدد الطرق التي يمكن فيها اختيار مجموعة مكونة من 5 عناصر من بين مجموعة مكونة من 16 عنصرًا. لحل هذه المسألة، يُمكن استخدام صيغة الجمع المتسلسل، وهي:

(nr)=n!r!×(n−r)!\dbinom{n}{r} = \frac{n!}{r! \times (n – r)!}

حيث أن $n!$ تعني عامليال تصفية العدد $n$ و $r!$ تعني عامليال تصفية العدد $r$. للعثور على قيمة $\dbinom{16}{5}$، يمكن تطبيق هذه الصيغة.

مواضيع ذات صلة
(165)=16!5!×(16−5)!\dbinom{16}{5} = \frac{16!}{5! \times (16 – 5)!}

قبل الحساب، دعنا نقوم بتفكيك القيم:

16!=16×15×14×13×12×11×10×9×8×7×6×5×4×3×2×116! = 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1
5!=5×4×3×2×15! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1
(16−5)!=11!=11×10×9×8×7×6×5×4×3×2×1(16 – 5)! = 11! = 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1

الآن يمكننا وضع هذه القيم في الصيغة:

(165)=16×15×14×13×12×11×10×9×8×7×65×4×3×2×1×11×10×9×8×7×6×5×4×3×2×1\dbinom{16}{5} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}

الآن يمكننا إجراء بعض الإلغاء:

(165)=16×15×14×13×125×4×3×2×1\dbinom{16}{5} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}
=16×15×14×13×125×4×3×2= \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12}{5 \times 4 \times 3 \times 2}
=16×15×14×13×125×2= \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12}{5 \times 2}
=16×15×14×13×1210= \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12}{10}

الآن، يمكننا تبسيط العبارة:

=16×15×14×13×12= 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12
=43680= 43680

لذا، قيمة $\dbinom{16}{5}$ هي 43680.

المزيد من المعلومات

لحل مسألة حساب قيمة $\dbinom{16}{5}$ (وهي مسألة اختيار مجموعة من 5 عناصر من بين مجموعة تحتوي على 16 عنصرًا)، نستخدم مفهوم الاحتمالات وقوانين الجمع والضرب.

قبل أن نبدأ الحساب، دعنا نقوم بتوضيح القوانين المستخدمة:

  1. صيغة الاختيارات المتسلسلة: يُمكن استخدام صيغة الاختيارات المتسلسلة لحساب عدد الطرق الممكنة لاختيار مجموعة معينة من العناصر. وتُمثلها الصيغة $\dbinom{n}{r} = \frac{n!}{r! \times (n – r)!}$، حيث $n$ هو عدد العناصر الكلي و $r$ هو عدد العناصر التي نريد اختيارها.

  2. قانون الضرب: يُستخدم قانون الضرب لحساب عدد الطرق الممكنة لحدوث سلسلة من الأحداث المستقلة. ينص القانون على أنه إذا كان هناك $n_1$ طريقة للقيام بأول حدث و $n_2$ طريقة للقيام بالحدث الثاني، فإن هناك مجموعة مؤلفة من $n_1 \times n_2$ طريقة للقيام بالاثنين معًا.

الآن، دعنا نتطرق لحل المسألة:

أولاً، نحسب قيمة $16!$، وهي عبارة عن عامليال تصفية جميع العناصر في المجموعة المعطاة.

ثانياً، نحسب قيمة $5!$، وهي عامليال تصفية جميع العناصر في المجموعة التي نريد اختيارها.

ثالثاً، نحسب قيمة $(16-5)!$، وهي عبارة عن عامليال تصفية العناصر المتبقية بعد اختيار المجموعة.

بعد ذلك، نقوم بتطبيق صيغة الاختيارات المتسلسلة:

(165)=16!5!×(16−5)!\dbinom{16}{5} = \frac{16!}{5! \times (16 – 5)!}

نقوم بتبسيط العبارة باستخدام الضرب والقسمة للوصول إلى النتيجة النهائية، وهي عدد الطرق الممكنة لاختيار مجموعة مكونة من 5 عناصر من بين 16 عنصرًا.

وبهذا، نكون قد حسبنا قيمة $\dbinom{16}{5}$ ووجدنا أنها تساوي 43680، وهو العدد الذي يمثل الإجابة على المسألة المطروحة.

اخر تحديث 12/03/2024
0