حساب قيمة cos(AMB) في هرم رباعي منتظم (مسألة رياضيات)

في هرم رباعي منتظم (هرم ثلاثي الأضلاع) $ABCD$، حيث يعتبر $M$ نقطة منتصف الجزء $\overline{CD}$، ما هو قيمة $\cos \angle AMB$؟

المسألة:

نتناول هنا هرمًا رباعيًا منتظمًا، حيث يكون كل ضلع من الأضلاع متساوي الطول مع الآخر، وتكون الأوجه الثلاثة القاعدية مثلثات قائمة. تمثل النقطة $M$ منتصف الجزء $\overline{CD}$.

الحل:

لحل هذه المسألة، سنستخدم الرياضيات الهندسية والتفاضل بين الطولين $\overline{AM}$ و $\overline{MB}$.

نلاحظ أن $\overline{AM}$ هي نصف طول القاعدة $\overline{CD}$ للهرم، وبما أن $M$ هي نقطة منتصف $\overline{CD}$، فإن $\overline{AM}$ يكون نصف قاعدة الهرم.

نتذكر أيضًا أن الهرم الذي نتناوله هو هرم رباعي منتظم، وبالتالي فإن الزاوية $\angle CAD$ هي زاوية قائمة (من الثلاثيات القائمة للمثلث $CAD$).

الآن، نستخدم مفهوم السين في المثلث $CAD$ لحساب قيمة $\cos \angle AMB$:

$\cos \angle AMB = \cos \angle CAD = \frac{\text{الضلع المجاور}}{\text{الوتر}}$

ونعلم أن $\overline{AM}$ هو الضلع المجاور لزاوية $\angle AMB$ و $\overline{AB}$ هو الوتر. لكن نتذكر أيضًا أن $\overline{AM}$ هو نصف قاعدة الهرم، وبالتالي:

$\cos \angle AMB = \cos \angle CAD = \frac{\overline{AM}}{\overline{AB}}$

وبما أن الهرم منتظم، فإن $\overline{AB} = \overline{AC}$، لذا يمكننا الكتابة:

$\cos \angle AMB = \cos \angle CAD = \frac{\overline{AM}}{\overline{AC}}$

الآن، نحتاج إلى حساب قيمة $\overline{AM}$ و $\overline{AC}$.

نعلم أن $\overline{AM}$ هو نصف قاعدة الهرم، وبما أن $M$ هي نقطة منتصف $\overline{CD}$، فإن $\overline{AM}$ يكون نصف القاعدة $\overline{CD}$:

$\overline{AM} = \frac{\overline{CD}}{2}$

نعلم أيضًا أن الهرم منتظم، لذا $\overline{CD} = \overline{AB}$، وبالتالي:

$\overline{AM} = \frac{\overline{AB}}{2}$

الآن، نحتاج إلى حساب قيمة $\overline{AC}$، ونعلم أن $\overline{AC}$ هو ضلع من المثلث القائم $ABC$.

باستخدام مبرهنة فيثاغورس، نكتب:

$\overline{AC} = \sqrt{\overline{AB}^2 + \overline{BC}^2}$

ولكن نعلم أيضًا أن الهرم منتظم، لذا $\overline{AB} = \overline{BC}$، وبالتالي:

$\overline{AC} = \sqrt{2 \cdot \overline{AB}^2}$

الآن، يمكننا وضع القيم في المعادلة الأصلية لحساب $\cos \angle AMB$:

$\cos \angle AMB = \frac{\overline{AM}}{\overline{AC}} = \frac{\frac{\overline{AB}}{2}}{\sqrt{2 \cdot \overline{AB}^2}}$

نبسط الكسر في المقام:

$\cos \angle AMB = \frac{1}{2\sqrt{2}}$

إذاً، قيمة $\cos \angle AMB$ هي:

$\cos \angle AMB = \frac{1}{2\sqrt{2}}$

هذه هي القيمة المطلوبة للتمرين المعطى.

لنقم بحساب قيمة $\cos \angle AMB$ في هرم رباعي منتظم $ABCD$، حيث $M$ هي نقطة منتصف الجزء $\overline{CD}$، يمكننا استخدام قوانين المثلثات وبعض الفهم الهندسي.

التفاصيل:

1. المعلومات الأولية:

   • $ABCD$ هو هرم رباعي منتظم.
   • $M$ هي نقطة منتصف $\overline{CD}$.

2. المثلثات القائمة:

   • المثلث $CAD$ قائم الزاوية في $C$.
   • المثلث $ABC$ أيضاً قائم الزاوية في $C$.

3. القوانين المستخدمة:

   • قانون السينات في المثلث $CAD$:
     $\cos \angle CAD = \frac{\text{الضلع المجاور}}{\text{الوتر}}$

   • قانون فيثاغورس في المثلث $ABC$:
     $\overline{AC} = \sqrt{\overline{AB}^2 + \overline{BC}^2}$

   • التعبير عن نصف القاعدة $\overline{AM}$:
     $\overline{AM} = \frac{\overline{CD}}{2}$

4. حساب قيم $\overline{AM}$ و $\overline{AC}$:

   • نعلم أن $\overline{AM} = \frac{\overline{AB}}{2}$ (لأن $M$ هو منتصف $\overline{CD}$ و $\overline{CD} = \overline{AB}$).
   • نستخدم قانون فيثاغورس في المثلث $ABC$ لحساب $\overline{AC}$.

5. التعبير عن $\cos \angle AMB$:

   • نستخدم قانون السينات في المثلث $CAD$ للتعبير عن قيمة $\cos \angle AMB$:
     $\cos \angle AMB = \frac{\overline{AM}}{\overline{AC}}$

6. تبسيط العبارة:

   • نستخدم القيم المستحسبة لتبسيط التعبير.

7. النتيجة النهائية:

   • نحسب القيمة النهائية لـ $\cos \angle AMB$.

القوانين المستخدمة:

• قانون السينات:
  يستخدم لحساب الزوايا أو الضواحي في المثلثات. في المثلث $CAD$، استخدمناه للتعبير عن $\cos \angle CAD$.

• قانون فيثاغورس:
  يستخدم لحساب طول ضلع في المثلث القائم. في المثلث $ABC$، استخدمناه لحساب $\overline{AC}$.

• التعبير عن نصف القاعدة:
  استخدمنا الفهم الهندسي للهرم المنتظم للتعبير عن قيمة $\overline{AM}$ كنصف قاعدة.

النتيجة:

• قيمة $\cos \angle AMB = \frac{1}{2\sqrt{2}}$

هذه هي الطريقة التفصيلية التي تم استخدامها لحل المسألة، مع التركيز على القوانين المستخدمة والخطوات المتبعة في الحسابات.