حساب قيمة cos 5θ باستخدام هويات الزوايا (مسألة رياضيات)

نعطى أن $\cos \theta = \frac{1}{3}$، نريد حساب قيمة $\cos 5\theta$.

لحل هذه المشكلة، نستفيد من الهويات الزاوية وتعريفات دوال الزاوية.

أولاً، يمكننا استخدام هوية زاوية مضاعفة للجيب الكوسينوس للحصول على قيمة $\cos 2\theta$. الهوية هي:

$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta – 1$

نستخدم القيمة المعطاة لدينا لحساب $\cos 2\theta$:

$\cos 2\theta = 2\left(\frac{1}{3}\right)^2 – 1 = \frac{2}{9} – 1 = -\frac{7}{9}$

الآن، نستخدم هوية الزاوية المضاعفة مرة أخرى للحصول على قيمة $\cos 4\theta$:

$\cos 4\theta = 2\cos^2 2\theta – 1$

نستخدم القيمة التي حسبناها لـ $\cos 2\theta$:

$\cos 4\theta = 2\left(-\frac{7}{9}\right)^2 – 1 = \frac{98}{81} – 1 = -\frac{83}{81}$

أخيرًا، نستخدم هوية الزاوية المضاعفة للحصول على قيمة $\cos 5\theta$:

$\cos 5\theta = \cos (4\theta + \theta) = \cos 4\theta \cos \theta – \sin 4\theta \sin \theta$

حسبنا قيمة $\cos 4\theta$ في الخطوة السابقة، ونعلم أن $\sin \theta = \sqrt{1 – \cos^2 \theta}$. لذا:

$\sin \theta = \sqrt{1 – \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3}$

ونحسب $\sin 4\theta$:

$\sin 4\theta = 2\sin 2\theta \cos 2\theta$

نستخدم قيم $\sin 2\theta$ و $\cos 2\theta$ التي حسبناها في الخطوات السابقة:

$\sin 4\theta = 2 \cdot \left(\frac{\sqrt{8}}{3}\right) \cdot \left(-\frac{7}{9}\right) = -\frac{14\sqrt{2}}{27}$

الآن، نستخدم هذه القيم لحساب $\cos 5\theta$:

$\cos 5\theta = \cos 4\theta \cos \theta – \sin 4\theta \sin \theta$

$\cos 5\theta = \left(-\frac{83}{81}\right) \cdot \frac{1}{3} – \left(-\frac{14\sqrt{2}}{27}\right) \cdot \frac{\sqrt{8}}{3}$

$\cos 5\theta = -\frac{83}{243} + \frac{112\sqrt{2}}{243}$

إذاً، قيمة $\cos 5\theta$ هي:

$\cos 5\theta = -\frac{83}{243} + \frac{112\sqrt{2}}{243}$

لنقم بحل المسألة بمزيد من التفاصيل وذلك باستخدام الهويات الزاوية والقوانين المستخدمة في الحل.

المعطيات:
$\cos \theta = \frac{1}{3}$

نريد حساب قيمة $\cos 5\theta$.

الخطوة 1: حساب قيمة $\cos 2\theta$ باستخدام هوية الزاوية المضاعفة:
$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta – 1$

حيث قمنا بتعويض قيمة $\cos \theta$ المعطاة:
$\cos 2\theta = 2\left(\frac{1}{3}\right)^2 – 1 = -\frac{7}{9}$

الخطوة 2: حساب قيمة $\cos 4\theta$ باستخدام هوية الزاوية المضاعفة مرة أخرى:
$\cos 4\theta = 2\cos^2 2\theta – 1$

حيث قمنا بتعويض قيمة $\cos 2\theta$ التي حسبناها في الخطوة السابقة:
$\cos 4\theta = 2\left(-\frac{7}{9}\right)^2 – 1 = -\frac{83}{81}$

الخطوة 3: حساب قيمة $\sin \theta$ باستخدام تعريف دالة الجيب الساين:
$\sin \theta = \sqrt{1 – \cos^2 \theta}$

حيث قمنا بتعويض قيمة $\cos \theta$ المعطاة:
$\sin \theta = \sqrt{1 – \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{\sqrt{8}}{3}$

الخطوة 4: حساب قيمة $\sin 4\theta$ باستخدام هوية الزاوية المضاعفة للسين:
$\sin 4\theta = 2\sin 2\theta \cos 2\theta$

حيث قمنا بتعويض قيم $\sin 2\theta$ و $\cos 2\theta$ التي حسبناها في الخطوتين السابقتين:
$\sin 4\theta = 2 \cdot \left(\frac{\sqrt{8}}{3}\right) \cdot \left(-\frac{7}{9}\right) = -\frac{14\sqrt{2}}{27}$

الخطوة 5: حساب قيمة $\cos 5\theta$ باستخدام هوية الجيب والتمام:
$\cos 5\theta = \cos (4\theta + \theta) = \cos 4\theta \cos \theta – \sin 4\theta \sin \theta$

نقوم بتعويض القيم المحسوبة في الخطوات السابقة:
$\cos 5\theta = \left(-\frac{83}{81}\right) \cdot \frac{1}{3} – \left(-\frac{14\sqrt{2}}{27}\right) \cdot \frac{\sqrt{8}}{3}$

الإجابة النهائية:
$\cos 5\theta = -\frac{83}{243} + \frac{112\sqrt{2}}{243}$

القوانين المستخدمة:

1. هوية زاوية مضاعفة للكوسينوس:
   $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta – 1$
2. تعريف دالة الساين:
   $\sin \theta = \sqrt{1 – \cos^2 \theta}$
3. هوية زاوية مضاعفة للسين:
   $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$
4. هوية زاوية مضاعفة للكوسينوس (مرة أخرى):
   $\cos 4\theta = 2\cos^2 2\theta – 1$
5. هوية الجيب والتمام:
   $\cos (a + b) = \cos a \cos b – \sin a \sin b$

تم استخدام هذه القوانين لحساب القيم المطلوبة في كل خطوة.