مسائل رياضيات

حساب قيمة cos ⁡ ( arcsin ⁡ 2 3 ) \cos \left( \arcsin \frac{2}{3} \right) cos ( arcsin 3 2 ​ ) (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 22/01/2024
0

نعطى مسألة حسابية لحساب قيمة التعبير:

cos⁡(arcsin⁡23)\cos \left( \arcsin \frac{2}{3} \right)

لحل هذه المسألة، يمكننا الاستفادة من العلاقات الرياضية والتفاعل بين الدوال المثلثية. نبدأ بالتعبير arcsin⁡23\arcsin \frac{2}{3}، الذي يعبر عن الزاوية التي يكون جيبها 23\frac{2}{3} في المثلث.

مواضيع ذات صلة

القيمة sin⁡θ\sin \theta تمثل نسبة الطول المقابل إلى الطول الفعال للزاوية θ\theta في المثلث. في هذه الحالة، إذا كانت arcsin⁡23\arcsin \frac{2}{3}، فإن sin⁡(arcsin⁡23)\sin \left( \arcsin \frac{2}{3} \right) يكون مساوياً للقيمة التي تمثل النسبة المذكورة.

لتحديد قيمة cos⁡(arcsin⁡23)\cos \left( \arcsin \frac{2}{3} \right)، يمكننا الاستعانة بالهوية المثلثية التي تربط بين الدوال المثلثية. بناءً على أن sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1، يمكننا حساب قيمة cos⁡θ\cos \theta باستخدام sin⁡θ\sin \theta.

فلنقم بحساب cos⁡(arcsin⁡23)\cos \left( \arcsin \frac{2}{3} \right)، حيث يكون sin⁡(arcsin⁡23)=23\sin \left( \arcsin \frac{2}{3} \right) = \frac{2}{3}:

cos⁡(arcsin⁡23)=cos⁡θ=1−sin⁡2θ=1−(23)2=1−49=59=53\cos \left( \arcsin \frac{2}{3} \right) = \cos \theta = \sqrt{1 – \sin^2 \theta} = \sqrt{1 – \left( \frac{2}{3} \right)^2} = \sqrt{1 – \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}

إذاً، قيمة التعبير cos⁡(arcsin⁡23)\cos \left( \arcsin \frac{2}{3} \right) هي 53\frac{\sqrt{5}}{3}.

المزيد من المعلومات

لحساب قيمة التعبير cos⁡(arcsin⁡23)\cos \left( \arcsin \frac{2}{3} \right)، سنستخدم بعض القوانين والمفاهيم المتعلقة بالدوال المثلثية والزوايا الزاوجية.

لنعود إلى التعبير arcsin⁡23\arcsin \frac{2}{3}، الذي يعبر عن الزاوية التي يكون جيبها 23\frac{2}{3} في المثلث. في المثلث الذي يحتوي على هذه الزاوية، نفترض أن لدينا طول وتكميليات للزاوية تُمثلها جيوب الزوايا الأخرى. إذا كانت arcsin⁡23\arcsin \frac{2}{3}، فإن sin⁡(arcsin⁡23)\sin \left( \arcsin \frac{2}{3} \right) يمثل النسبة بين الطول المقابل والطول الفعال في هذا المثلث.

القانون الأساسي هو sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1، ويمكننا استخدامه للتعبير عن قيمة cos⁡θ\cos \theta بناءً على قيمة sin⁡θ\sin \theta. في هذه الحالة، نستخدم القيمة المعروفة sin⁡(arcsin⁡23)=23\sin \left( \arcsin \frac{2}{3} \right) = \frac{2}{3} لحساب cos⁡(arcsin⁡23)\cos \left( \arcsin \frac{2}{3} \right):

cos⁡(arcsin⁡23)=cos⁡θ=1−sin⁡2θ=1−(23)2=1−49=59=53\cos \left( \arcsin \frac{2}{3} \right) = \cos \theta = \sqrt{1 – \sin^2 \theta} = \sqrt{1 – \left( \frac{2}{3} \right)^2} = \sqrt{1 – \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}

هنا قمنا باستخدام القاعدة الثنائية للمثلثات والتي تقول أن sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 لتحديد قيمة cos⁡θ\cos \theta بناءً على sin⁡θ\sin \theta.

باختصار، استخدمنا القانون المثلثي للعلاقة بين الجيوب في المثلث والهوية المثلثية sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 لحساب قيمة cos⁡(arcsin⁡23)\cos \left( \arcsin \frac{2}{3} \right) بناءً على قيمة sin⁡(arcsin⁡23)\sin \left( \arcsin \frac{2}{3} \right).

اخر تحديث 22/01/2024
0