حساب قيمة معامل التربيعية باستخدام القمة (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

الرسم البياني للمعادلة التربيعية $y = ax^2 + bx + c$ هو قطعة ناتجة عن التحولات في القيمة $a$، وحيث أن لدينا نقطة القمة عند $(-4,0)$ ونقطة أخرى على المنحنى عند $(1,-75)$، نحتاج إلى حساب قيمة $a$.

الحل:

لنجد قيمة $a$، يمكننا استخدام النقطة القمة ونقطة أخرى على المنحنى. القمة تمثل نقطة $(h, k)$، حيث $h$ هو المحور الرأسي للقمة و $k$ هو القيمة الرأسية للقمة. في حالتنا، $h = -4$ و $k = 0$.

نستخدم النقطة $(h, k)$ لحساب قيمة $a$ باستخدام المعادلة $a = \frac{y – k}{(x – h)^2}$.

إذاً، نقوم بحساب:

$a = \frac{-75 – 0}{(1 – (-4))^2} = \frac{-75}{25} = -3$

لذا، قيمة $a$ هي $-3$.

في حل هذه المسألة، قمنا باستخدام مفهوم القمة (vertex) للمنحنى التربيعي، حيث يتم تمثيل المعادلة التربيعية في صورة القمة كالتالي:

$y = a(x – h)^2 + k$

حيث:

• $a$ هو عامل التضخيم/التصغير للمنحنى.
• $(h, k)$ تمثل إحداثيات القمة.

في هذه المسألة، تم تحديد القمة عند $(-4, 0)$، وباستخدام هذه المعلومة، قمنا بتجديد المعادلة لتصبح:

$y = a(x + 4)^2$

ثم استخدمنا النقطة الأخرى المعطاة $(1, -75)$ لحساب قيمة $a$ باستخدام المعادلة المذكورة:

$a = \frac{y – k}{(x – h)^2} = \frac{-75 – 0}{(1 – (-4))^2} = \frac{-75}{25} = -3$

لذا، وباستخدام هذا القيمة في المعادلة الأصلية، نكون قد حسنا المعادلة التربيعية كالتالي:

$y = -3(x + 4)^2$

وبهذا الشكل، نكون قد حللنا المسألة بالاعتماد على مفهوم القمة وقوانين الجبر.