حساب قيمة معامل الاتجاه في خطوط متعامدة (مسألة رياضيات)

الخطين متعامدان، والخط الأول له قاعدة الاتجاه $\begin{pmatrix} 3 \ -7 \end{pmatrix}.$ الخط الثاني له قاعدة الاتجاه $\begin{pmatrix} a \ 2 \end{pmatrix}.$ نعلم أن الخطين متعامدان إذا كان حاصل ضرب قاعدة الاتجاه للخط الأول في قاعدة الاتجاه للخط الثاني يساوي صفر.

لذا، نحسب المنتج النقطي بين القاعدين:

وحيث أننا نعلم أن هذا المنتج النقطي يساوي صفر (نظرًا لأن الخطين متعامدان)، فإننا نحل المعادلة:

نضيف 14 إلى الطرفين:

ثم نقسم على 3:

إذاً، قيمة $a$ هي $\frac{14}{3}.$

لحل هذه المسألة، نستخدم خاصية الرُبع المتعامد في الفضاء. عندما يكونان الخطين متعامدين، يكون حاصل ضرب قاعدة الاتجاه للخط الأول في قاعدة الاتجاه للخط الثاني يساوي صفر.

القاعدة الأولى للاتجاه هي $\begin{pmatrix} 3 \ -7 \end{pmatrix}$ والقاعدة الثانية هي $\begin{pmatrix} a \ 2 \end{pmatrix}.$ حساب الضرب النقطي بين هاتين القواعد يأتي كالتالي:

حيث قد قمنا بضرب المكونات المتقابلة وجمع النواتج. ومن ثم، نقوم بوضع هذا المنتج النقطي الذي حصلنا عليه يساوي صفر لأن الخطين متعامدين:

نضيف 14 إلى الطرفين للحصول على:

ثم نقسم على 3 لحساب قيمة $a$:

القوانين المستخدمة هي:

1. متعامدية الخطوط في الفضاء: إذا كانت الخطوط متعامدة، يكون حاصل ضرب قواعد الاتجاه لهما يساوي صفر.

2. الضرب النقطي للمتجهات: حيث يتم حساب الضرب النقطي بجمع حاصل ضرب المكونات المتقابلة.

3. حل المعادلات الخطية: حيث يتم تطبيق العمليات الرياضية (الجمع والطرح والضرب والقسم) للوصول إلى قيمة المتغير المطلوب.