مسائل رياضيات

حساب قيمة مطلقة لمعادلة كمبلكسية معقدة (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 29/12/2023
0

المعادلة المعطاة هي $|\omega^2+6\omega+58|$، حيث $\omega=9+2i$. سنقوم بحساب قيمة هذه المعادلة باستخدام القيمة المعطاة لـ $\omega$.

إذاً،∣ω2+6ω+58∣=∣(9+2i)2+6(9+2i)+58∣=∣(81+36i−4)+(54+12i)+58∣=∣135+48i∣.\begin{align*} \text{إذاً،} \quad |\omega^2+6\omega+58| &= |(9+2i)^2+6(9+2i)+58| \\ &= |(81 + 36i – 4) + (54 + 12i) + 58| \\ &= |135 + 48i|. \end{align*}

لحساب قيمة $|135 + 48i|$، سنستخدم قاعدة حساب القيمة المطلقة للعدد الكمبلكس، وهي $\sqrt{a^2 + b^2}$ حيث $a$ و $b$ هما الأجزاء الحقيقية والوهمية للعدد على التوالي.

مواضيع ذات صلة
∣135+48i∣=1352+482=18225+2304=20529.\begin{align*} |135 + 48i| &= \sqrt{135^2 + 48^2} \\ &= \sqrt{18225 + 2304} \\ &= \sqrt{20529}. \end{align*}

الآن، سنقوم بتبسيط الجذر التربيعي للحصول على القيمة النهائية.

20529=3×6843=3×3×2281=3×3×43×53.\begin{align*} \sqrt{20529} &= \sqrt{3 \times 6843} \\ &= \sqrt{3 \times 3 \times 2281} \\ &= \sqrt{3 \times 3 \times 43 \times 53}. \end{align*}

وبما أن العدد 20529 ليس عددا مربعاً كاملاً، فإن الجذر التربيعي له يكون في شكل جذر عددي، وبالتالي:

20529=3×3×43×53=33×43×53.\sqrt{20529} = \sqrt{3 \times 3 \times 43 \times 53} = 3\sqrt{3 \times 43 \times 53}.

لذا، القيمة المطلقة للمعادلة الأصلية هي $3\sqrt{3 \times 43 \times 53}$.

وبهذا نكون قد قمنا بحساب القيمة المطلوبة للمعادلة المعطاة.

المزيد من المعلومات

سأقوم بتوضيح الحل بشكل أكثر تفصيلاً وسأذكر القوانين التي تم استخدامها في الحسابات.

المعادلة المعطاة هي $|\omega^2+6\omega+58|$، حيث $\omega=9+2i$. سنقوم بتوسيع هذه المعادلة باستخدام القيمة المعطاة لـ $\omega$:

∣ω2+6ω+58∣=∣(9+2i)2+6(9+2i)+58∣=∣(81+36i−4)+(54+12i)+58∣=∣135+48i∣.\begin{align*} |\omega^2+6\omega+58| &= |(9+2i)^2+6(9+2i)+58| \\ &= |(81 + 36i – 4) + (54 + 12i) + 58| \\ &= |135 + 48i|. \end{align*}

هنا تم استخدام قانون جمع وطرح أعداد معقدة، حيث قمنا بتوسيع $(9+2i)^2$ وحساب الأجزاء الحقيقية والوهمية.

ثم قمنا بحساب قيمة $|135 + 48i|$ باستخدام قانون القيمة المطلقة للعدد الكمبلكس:

∣135+48i∣=1352+482.|135 + 48i| = \sqrt{135^2 + 48^2}.

في هذه الخطوة، استخدمنا قانون حساب القيمة المطلقة للعدد الكمبلكس، الذي يقول أنها تكون $\sqrt{a^2 + b^2}$ حيث $a$ و $b$ هما الأجزاء الحقيقية والوهمية للعدد على التوالي.

ثم قمنا بتبسيط الجذر التربيعي للحصول على القيمة النهائية، وهو الجذر التربيعي للمجموع $135^2 + 48^2$:

1352+482=18225+2304.\sqrt{135^2 + 48^2} = \sqrt{18225 + 2304}.

وأخيرًا، قمنا بتفكيك الجذر إلى عوامله الأولية:

18225+2304=3×3×43×53.\sqrt{18225 + 2304} = \sqrt{3 \times 3 \times 43 \times 53}.

وبما أن العدد 20529 ليس عددًا مربعًا كاملاً، فإن الجذر التربيعي له يكون في شكل جذر عددي، وبالتالي:

3×3×43×53=33×43×53.\sqrt{3 \times 3 \times 43 \times 53} = 3\sqrt{3 \times 43 \times 53}.

لذا، القيمة المطلقة للمعادلة الأصلية هي $3\sqrt{3 \times 43 \times 53}$.

تم استخدام في هذا الحل قوانين الجبر والحساب الكمبلكس، مع التركيز على قانون القيمة المطلقة للعدد الكمبلكس وقوانين تفكيك الجذور.

اخر تحديث 29/12/2023
0