حساب قيمة متوقعة لنردة ثمانية الأضلاع (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
لدينا نردة ثمانية الأضلاع، حيث تحمل وجوهها أرقامًا من X إلى 8. ما هو القيمة المتوقعة لنتيجة رمي النردة؟ وإذا كنا نعلم أن الإجابة على السؤال السابق هي 4.5، فما هي قيمة المتغير المجهول X؟

الحل:
لحساب القيمة المتوقعة، يمكننا استخدام الصيغة:

$\text{القيمة المتوقعة} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$

حيث:

• $n$ هو عدد الأحداث الممكنة (عدد الأوجه على النردة)، وفي هذه الحالة $n = 8$، لأن لدينا ثمانية أوجه.
• $x_i$ هو قيمة كل حدث (رقم على وجه النردة).

في هذه الحالة، نريد حساب المتوسط ​​الحسابي للأعداد من $X$ إلى 8. لذا، يمكننا كتابة التكرار كالتالي:

$\text{القيمة المتوقعة} = \frac{1}{8} \left( X + (X+1) + (X+2) + \ldots + 8 \right)$

إذاً، القيمة المتوقعة هي 4.5، لذا:

$\frac{1}{8} \left( X + (X+1) + (X+2) + \ldots + 8 \right) = 4.5$

لحساب هذا، يمكننا ضرب كل جانب في 8 للتخلص من المقام:

$X + (X+1) + (X+2) + \ldots + 8 = 8 \times 4.5$

الآن، يمكننا حساب المجموع:

$X + (X+1) + (X+2) + \ldots + 8 = 36$

وهذا يمثل مجموع تسلسل حسابي. نستخدم الصيغة التالية لحساب المجموع:

$S_n = \frac{n}{2} \left(2a + (n-1)d\right)$

حيث:

• $S_n$ هو مجموع التسلسل.
• $n$ هو عدد العناصر في التسلسل.
• $a$ هو العنصر الأول في التسلسل.
• $d$ هو الفرق بين العناصر.

في حالتنا:

• $S_n = 36$ (المجموع الذي حسبناه).
• $n = \frac{8-X}{1} + 1 = 9 – X$ (عدد العناصر في التسلسل).
• $a = X$ (العنصر الأول).
• $d = 1$ (الفرق بين العناصر).

وبتعويض هذه القيم في الصيغة، نحصل على:

$36 = \frac{9-X}{2} \left(2X + (9-X-1) \times 1\right)$

الآن يمكننا حل هذه المعادلة للعثور على قيمة $X$.

لنحل المسألة، سنستخدم الصيغة العامة لحساب القيمة المتوقعة لسلسلة من الأحداث. الصيغة تعطينا المتوسط ​​الحسابي لتلك الأحداث. الصيغة هي:

$\text{القيمة المتوقعة} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$

حيث:

• $n$ هو عدد الأحداث الممكنة.
• $x_i$ هو قيمة كل حدث.

في هذه الحالة، لدينا نردة ثمانية الأضلاع، لذا $n = 8$. والقيم $x_i$ هي الأرقام من $X$ إلى 8.

نستخدم هذه الصيغة لحساب القيمة المتوقعة:

$\text{القيمة المتوقعة} = \frac{1}{8} \left( X + (X+1) + (X+2) + \ldots + 8 \right)$

القاعدة المستخدمة هنا هي قاعدة القيمة المتوقعة لتوزيع متساوي. يعني ذلك أننا نفترض أن كل رقم من $X$ إلى 8 له نفس الاحتمالية للظهور، وبالتالي نقوم بحساب المتوسط ​​الحسابي لهذه الأرقام.

لحساب القيمة المتوقعة الفعلية، نجد أن:

$\text{القيمة المتوقعة} = \frac{1}{8} \left( X + (X+1) + (X+2) + \ldots + 8 \right)$

والآن، وفقًا للسؤال، نعلم أن القيمة المتوقعة هي 4.5. لذا:

$\frac{1}{8} \left( X + (X+1) + (X+2) + \ldots + 8 \right) = 4.5$

نقوم بتبسيط الصيغة عن طريق ضرب الطرفين في 8:

$X + (X+1) + (X+2) + \ldots + 8 = 36$

والآن نحتاج إلى حساب قيمة $X$، وهنا يأتي دور قاعدة حساب مجموع تسلسل حسابي. لحساب مجموع تسلسل حسابي، نستخدم الصيغة:

$S_n = \frac{n}{2} \left(2a + (n-1)d\right)$

حيث:

• $S_n$ هو مجموع التسلسل.
• $n$ هو عدد العناصر في التسلسل.
• $a$ هو العنصر الأول في التسلسل.
• $d$ هو الفرق بين العناصر.

في حالتنا:

• $S_n = 36$ (المجموع الذي حسبناه).
• $n = 9 – X$ (عدد العناصر في التسلسل).
• $a = X$ (العنصر الأول).
• $d = 1$ (الفرق بين العناصر).

نستخدم هذه القيم في الصيغة:

$36 = \frac{9-X}{2} \left(2X + (9-X-1) \times 1\right)$

الآن يمكننا حل هذه المعادلة للعثور على قيمة $X$.