حساب قيمة مؤثرة لتعبير درجة ثانية (مسألة رياضيات)

المطلوب هو إيجاد قيمة للمتغير $x$ التي تؤدي إلى القيمة الدنيا للتعبير $x^2 – 10x + 24$. لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام الطريقة التكميلية.

لحساب النقطة الأعلى أو الأدنى للتعبير الرباعي $ax^2 + bx + c$، نستخدم الصيغة التالية: $x = -\frac{b}{2a}$.

في هذه المسألة، $a = 1$، $b = -10$، و $c = 24$. بالتعويض في الصيغة، نحصل على:

$x = -\frac{(-10)}{2 \times 1} = 5$

إذاً، قيمة $x = 5$ تؤدي إلى القيمة الدنيا للتعبير $x^2 – 10x + 24$.

لحل هذه المسألة، سنقوم باتباع خطوات تشمل استخدام قوانين الجبر والتفكير الرياضي. لنقم بالتحليل بالتفصيل:

التعبير الذي نريد العثور على قيمة $x$ التي تجعله صغيرًا هو:
$f(x) = x^2 – 10x + 24$

حيث $a = 1$ و $b = -10$ و $c = 24$.

أولاً، يمكننا استخدام الصيغة للنقطة الأعلى/الأدنى $x = -\frac{b}{2a}$ للعثور على قيمة $x$ التي تحقق الحد الأدنى/الأقصى للتعبير. في هذه الحالة:
$x = -\frac{(-10)}{2 \times 1} = 5$

الآن، للتحقق من أن هذه هي القيمة التي تجعل التعبير أدنى قيمة، يمكننا استخدام الفحص الثاني، وهو فحص اتجاه منحنى التعبير. نعلم أن الأمانة أمام $x^2$ هي إيجابية، لذلك إذا كانت قيمة $a$ إيجابية، يعني ذلك أن النقطة التي وجدناها هي نقطة أدنى.

القانون المستخدم هنا هو القاعدة التي تقول إنه عندما تكون قيمة $a$ إيجابية في تعبير من الدرجة الثانية، فإن النقطة التي نحسبها بواسطة الصيغة $x = -\frac{b}{2a}$ هي النقطة التي تحقق القيمة الدنيا للتعبير.

لذلك، بالتالي، نجد أن قيمة $x = 5$ هي القيمة التي تجعل التعبير $x^2 – 10x + 24$ يحقق القيمة الدنيا.