حساب قيمة لوغاريتم $\log_7\sqrt{7}$ (مسألة رياضيات)

القيمة التي نبحث عنها هي قيمة $\log_7\sqrt{7}$. لنبدأ بتفكيك المعادلة.

نعلم أن $\sqrt{7}$ تمثل الجذر التربيعي للعدد 7، وهو يعني الرقم الذي إذا تم ضربه في نفسه يُعطي 7. إذاً، $\sqrt{7}$ تساوي 7 مرفوعة للأس 0.5.

لكننا نريد أن نعرف قيمة $\log_7\sqrt{7}$، أي الأس الذي يجعل 7 مرفوعة إليه تساوي $\sqrt{7}$.

سنعبر عن هذا العبارة بالمعادلة التالية:
$7^x = \sqrt{7}$

حيث أن x هو الأس الذي يجعل 7 مرفوعة إليه تساوي $\sqrt{7}$.

لحل هذه المعادلة، نستخدم خاصية اللوغاريتم الطبيعي، التي تقول إن $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)$.

لذلك، يمكننا كتابة المعادلة على النحو التالي:
$\log_7(7^x) = \log_7(\sqrt{7})$

باستخدام الخاصية المذكورة، يمكننا كتابة المعادلة بصيغة مبسطة:
$x = \frac{\log_7(\sqrt{7})}{\log_7(7)}$

ونعرف أن $\log_7(7) = 1$، لأن أي عدد مرفوع للقاعدة نفسها يساوي 1.

إذاً، المعادلة تصبح:
$x = \log_7(\sqrt{7})$

ونعلم أن $\sqrt{7}$ تساوي $7^{0.5}$.

لذا، المعادلة تصبح:
$x = \log_7(7^{0.5})$

ووفقًا للخاصية التي ذكرناها سابقًا، يمكننا تبسيط المعادلة إلى:
$x = 0.5$

إذاً، قيمة $\log_7(\sqrt{7})$ تساوي 0.5.

لحل مسألة $\log_7\sqrt{7}$، سنستخدم عدة خطوات وقوانين لوغاريتمية:

1. القاعدة الأساسية للوغاريتم:
   يقول هذا القانون إنه إذا كان لدينا $\log_a(b^c)$، فإنه يُمكن تبسيطه إلى $c \cdot \log_a(b)$.

2. قانون الأس والجذر:
   يقول هذا القانون إن $\sqrt{a} = a^{0.5}$، حيث يمكن كتابة الجذر التربيعي لعدد ما على شكل هذه الصيغة.

باستخدام هذين القانونين، نقوم بالخطوات التالية:

أولاً، نعبر عن المعادلة $\log_7\sqrt{7}$ بشكل معادلة لوغاريتمية:
$\log_7\sqrt{7} = x$

نعلم أن $\sqrt{7} = 7^{0.5}$، فنستخدم هذه المعرفة لتعويض قيمة الجذر في المعادلة، فتصبح:
$\log_7(7^{0.5}) = x$

ثم، نستخدم القاعدة الأساسية للوغاريتم لتبسيط المعادلة إلى:
$0.5 \cdot \log_7(7) = x$

من المعروف أن $\log_7(7) = 1$، إذاً، نستبدلها في المعادلة:
$0.5 \cdot 1 = x$

وبالتالي، نجد أن $x = 0.5$.

لذا، قيمة $\log_7\sqrt{7}$ تساوي 0.5.

هذه العملية تعتمد على فهم القوانين اللوغاريتمية واستخدامها بشكل صحيح لتبسيط المعادلة وحساب القيمة المطلوبة.