حساب قيمة لوغاريتم 17 في قاعدة 10 (مسألة رياضيات)

قيمة $\log_{10}{17}$ تقع بين الأعداد الصحيحة المتتالية $a$ و $b$. احسب $a+b$.

حل:

لحساب قيمة $\log_{10}{17}$، يمكننا استخدام خاصية اللوغاريتم الطبيعية والتحويل بناءً على القاعدة $\log_{a}{b} = \frac{\log{b}}{\log{a}}$.

إذاً:
$\log_{10}{17} = \frac{\log{17}}{\log{10}}$

ونعلم أن $\log{10} = 1$، لذا يصبح المعادلة:
$\log_{10}{17} = \log{17}$

الآن، يجب أن نحدد قيمة $\log{17}$. يمكننا تقريب القيمة باستخدام قاعدة اللوغاريتم الطبيعية، حيث أن $\log{e} = 1$.

لذا، نقوم بتقريب $\log{17}$:
$\log{17} \approx \log{e^2} = 2 \log{e} = 2$

الآن، علينا أن نجد الأعداد الصحيحة $a$ و $b$ التي تحيط بقيمة $\log_{10}{17}$، والتي هي بين $1$ و $2$.

نجد أن $a = 1$ و $b = 2$.

أخيرًا، نجمع $a$ و $b$:
$a + b = 1 + 2 = 3$

إذاً، قيمة $\log_{10}{17}$ تقع بين الأعداد الصحيحة $1$ و $2$، والمطلوب هو $a+b$، الذي يساوي $3$.

بالتأكيد، سأوضح التفاصيل أكثر لحل المسألة وأشرح القوانين المستخدمة.

نريد حساب قيمة $\log_{10}{17}$ ونعلم أنها تقع بين الأعداد الصحيحة المتتالية $a$ و $b$، ونحتاج إلى حساب $a+b$.

القانون الأساسي المستخدم هو قاعدة تحويل اللوغاريتم، التي تنص على أن $\log_{a}{b} = \frac{\log{b}}{\log{a}}$.

لذا، يمكننا تحويل $\log_{10}{17}$ كالتالي:
$\log_{10}{17} = \frac{\log{17}}{\log{10}}$

ونعلم أن $\log{10} = 1$، لذا يصبح:
$\log_{10}{17} = \log{17}$

ثم استخدمنا قاعدة لوغاريتم طبيعية لتقريب قيمة $\log{17}$:
$\log{17} \approx \log{e^2} = 2 \log{e} = 2$

بالتالي، قيمة $\log_{10}{17}$ تقترب من $2$.

الآن، نحتاج إلى العثور على الأعداد الصحيحة $a$ و $b$ التي تحيط بقيمة $\log_{10}{17}$ وهي بين $1$ و $2$. في هذه الحالة، وجدنا أن $a = 1$ و $b = 2$.

أخيرًا، نجمع $a$ و $b$ للحصول على الإجابة النهائية:
$a + b = 1 + 2 = 3$

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة تحويل اللوغاريتم: $\log_{a}{b} = \frac{\log{b}}{\log{a}}$
2. خاصية اللوغاريتم الطبيعية: $\log{e} = 1$

هذه القوانين تمثل الأدوات الرئيسية في حل المسألة، حيث تم استخدامها لتحويل اللوغاريتم وتقريب القيمة بالاعتماد على اللوغاريتم الطبيعية.