حساب قيمة سلسلة لانهائية: تحليل وحل (مسألة رياضيات)

المطلوب حساب قيمة المتسلسلة اللانهائية التالية:
$\sum_{n = 1}^\infty \frac{2n – 1}{n(n + 1)(n + 2)}$

لحل هذه المسألة، نستخدم تقنيات تحليل السلاسل اللانهائية. للقيام بذلك، يمكننا أولاً تفكيك كل عنصر من السلسلة إلى كسر جزئي:

$\frac{2n – 1}{n(n + 1)(n + 2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n + 1} + \frac{C}{n + 2}$

حيث $A$ , $B$ , و $C$ ثوابت نريد حساب قيمها. نضرب كلا الجانبين في المعادلة السابقة بمضاعفات التعبير المشترك $n(n + 1)(n + 2)$ للتخلص من المقامات:

$2n – 1 = A(n + 1)(n + 2) + Bn(n + 2) + Cn(n + 1)$

الآن، نستطيع استخدام التعويض وحساب قيم $A$ , $B$ , و $C$ . نضع قيم $n = 0$ , $n = -1$ , و $n = -2$ لنحصل على معادلات مفيدة.

لكن، قبل القيام بذلك، دعونا نقوم بتوسيع الجهة اليمنى من المعادلة:

\begin{align*} 2n – 1 &= A(n^2 + 3n + 2) + B(n^2 + 2n) + C(n^2 + n) \\ &= (A + B + C)n^2 + (3A + 2B + C)n + 2A \end{align*}

الآن، نعدل هذه المعادلة بمعادلة:

\begin{align*} 2 &= A + B + C \\ -1 &= 3A + 2B + C \\ 0 &= 2A \end{align*}

من المعادلة الأخيرة، نحصل على $A = 0$ . ومن المعادلة الأولى، نحصل على $C = 2$ بالتبسيط. الآن، نستخدم المعادلة الثانية لحساب قيمة $B$ :

\begin{align*} -1 &= 3(0) + 2B + 2 \\ -3 &= 2B \\ B &= -\frac{3}{2} \end{align*}

لذا، الكسور الجزئية تصبح:

$\frac{2n – 1}{n(n + 1)(n + 2)} = \frac{-\frac{3}{2}}{n} + \frac{2}{n + 2}$

الآن، نقوم بتفكيك المتسلسلة إلى جزئياتها ونحسب المجموع:

\begin{align*} \sum_{n = 1}^\infty \frac{2n – 1}{n(n + 1)(n + 2)} &= \sum_{n = 1}^\infty \left( \frac{-\frac{3}{2}}{n} + \frac{2}{n + 2} \right) \\ &= -\frac{3}{2} \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n} + 2 \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n + 2} \end{align*}

نلاحظ أن المتسلسلتين المتبقيتين هما متسلسلتان معروفتان، وهما متسلسلة اللوغاريتمية ومتسلسلة هارمونيك:

\begin{align*} \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n} &= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots = \infty \\ \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n + 2} &= \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \ldots = \infty \end{align*}

وبما أن كل منهما ينحسر إلى اللانهائية، فإن المتسلسلة الأصلية أيضًا تنحسر إلى اللانهائية.

المزيد من المعلومات