حساب قيمة دالة رياضية مع الشروط (مسألة رياضيات)

الدالة $f(x)$ تستوفي الشرط التالي لكل الأعداد الحقيقية $x$ و $y$:
$f(xy) = f(x) f(y)$
مع العلم أن $f(0) \neq 0$. يُطلب حساب قيمة $f(10)$.

حل المسألة:

لنقم بحساب قيمة $f(10)$. نعلم أن الشرط المعطى هو $f(xy) = f(x) f(y)$ لكل الأعداد الحقيقية $x$ و $y$. دعونا نستخدم هذا الشرط لحساب قيمة $f(10)$.

في هذه الحالة، نستطيع كتابة $10 = 5 \times 2$. لذا، يمكننا كتابة:
$f(10) = f(5 \times 2)$

وباستخدام الشرط المعطى:
$f(10) = f(5) \times f(2)$

ونستمر في هذا السياق، نستطيع كتابة $5 = 2.5$. لذا، يمكننا كتابة:
$f(10) = f(2.5 \times 2)$

وباستخدام الشرط مرة أخرى:
$f(10) = f(2.5) \times f(2)$

وهكذا نستمر في هذا العمل حتى نصل إلى:
$f(10) = f(1) \times f(1) \times f(1) \times f(1) \times f(1) \times f(1) \times f(1) \times f(1) \times f(1) \times f(1)$

حيث قمنا بتقسيم 10 إلى عوامل أولية. الآن نستخدم الشرط مرة أخرى:
$f(10) = f(1)^{10}$

لكن نعلم أن أي عدد مرفوع للقوة 1 يكون هو نفسه. لذا، نستنتج:
$f(10) = f(1) = 1$

إذا كانت الدالة تستوفي الشرط $f(xy) = f(x) f(y)$ لكل الأعداد الحقيقية $x$ و $y$، وكان $f(0) \neq 0$، فإن $f(10) = 1$.

لنقم بحساب قيمة $f(10)$ باستخدام الشرط $f(xy) = f(x) f(y)$ ومعلومة أن $f(0) \neq 0$.

في البداية، نستعرض العلاقة $f(xy) = f(x) f(y)$ بين الأعداد. هذه العلاقة تشير إلى أن قيمة الدالة في حاصل ضرب أي عددين هي ناتج ضرب قيم الدالة في كل منهما. لنطبق هذا الشرط على $f(10)$ حيث $10 = 5 \times 2$:

$f(10) = f(5 \times 2) = f(5) \times f(2)$

ثم نقوم بتفكيك 5 إلى عاملين أوليين، أي $5 = 2.5$، ونكرر العملية:

$f(10) = f(2.5 \times 2) = f(2.5) \times f(2)$

نستمر في هذه العملية حتى نصل إلى تقسيم 10 إلى عوامل أولية:

$f(10) = f(1) \times f(1) \times f(1) \times f(1) \times f(1) \times f(1) \times f(1) \times f(1) \times f(1) \times f(1)$

باستخدام الشرط $f(xy) = f(x) f(y)$ مرة أخرى، يصبح:

$f(10) = f(1)^{10}$

ونعلم أن أي عدد مرفوع للقوة 1 يكون هو نفسه، لذا:

$f(10) = f(1) = 1$

القوانين المستخدمة في هذا الحل:

1. قانون الضرب للدالة: $f(xy) = f(x) f(y)$ – تمثل علاقة الدالة مع عملية الضرب.
2. تفكيك الأعداد إلى عوامل أولية: استخدمنا هذا القانون لتفكيك العدد 10 إلى عوامل أولية (قسمنا 10 على 2 لعدة مرات حتى وصلنا إلى عوامل أولية).
3. قاعدة التعويض: استخدمنا قاعدة التعويض لتقدير قيمة $f(10)$ بناءً على قيم أصغر.

باستخدام هذه القوانين، تمكنا من حساب $f(10)$ وجدنا أن $f(10) = 1$ وفقًا للشروط المعطاة.