حساب قيمة جيب 75 درجة (مسألة رياضيات)

قيمة جيب التمام لزاوية 75 درجة يمكن حسابها باستخدام الزوايا المتشابهة والمثلثات. نعلم أن 75 درجة تمثل مجموع زاويتين قائمتين وزاوية أخرى تبلغ 15 درجة. للعثور على القيمة المطلوبة، يتعين علينا الاستنتاج من الزوايا المعروفة والمثلثات المتشابهة.

في المثلث، نرى أن:
$\cos(75^\circ) = \cos(45^\circ + 30^\circ)$

باستخدام القانون التوزيعي للجيب، نحصل على:
$\cos(75^\circ) = \cos(45^\circ)\cos(30^\circ) – \sin(45^\circ)\sin(30^\circ)$

نعرف أن قيم جيب 45 درجة وجيب 30 درجة هي قيم معروفة:
$\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

نستبدل قيم جيب الزوايا في المعادلة للحصول على:
$\cos(75^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} – \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2}$

بعد حساب القيم، نحصل على:
$\cos(75^\circ) = \frac{\sqrt{6}}{4} – \frac{\sqrt{2}}{4}$

وباستخدام قاعدة جمع الجذور نجد:
$\cos(75^\circ) = \frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4}$

إذاً، قيمة جيب تمام 75 درجة هي:
$\cos(75^\circ) = \frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4}$

لحل مسألة حساب قيمة جيب التمام لزاوية 75 درجة، نستخدم مجموعة من القوانين والمفاهيم الرياضية الأساسية. سنستخدم خصائص المثلثات والمتغيرات الزاوية للتوصل إلى القيمة المطلوبة.

القوانين والمفاهيم المستخدمة:

1. مفهوم الزوايا المتممة: يعني ذلك أن مجموع زاويتين متممتين يساوي 180 درجة.

2. قوانين المثلثات: نستخدم جيب وجيب التمام وجيب نصف الزاوية لحساب قيم الزوايا والأضلاع في المثلث.

3. قانون التوزيعية للجيب: يتيح لنا تحويل الجيب للمجموع والفرق لزوايا مجموعة.

الحل:

من المعروف أن 75 درجة تساوي مجموع 45 درجة و 30 درجة، أي: $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$.

باستخدام قانون التوزيعية للجيب، نكتب:
$\cos(75^\circ) = \cos(45^\circ + 30^\circ)$

ثم نستخدم الصيغة المعروفة لجيب الزوايا:
$\cos(75^\circ) = \cos(45^\circ)\cos(30^\circ) – \sin(45^\circ)\sin(30^\circ)$

نعوض بقيم جيب الزوايا المعروفة:
$\cos(75^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} – \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2}$

بعد الحساب، نجد:
$\cos(75^\circ) = \frac{\sqrt{6}}{4} – \frac{\sqrt{2}}{4}$

ثم بتطبيق قاعدة جمع الجذور:
$\cos(75^\circ) = \frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4}$

لذا، قيمة جيب التمام لزاوية 75 درجة هي:
$\cos(75^\circ) = \frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4}$