حساب قيمة جيب تاج -π/2 (مسألة رياضيات)

قيمة الجيب تاج للزاوية -π/2 هي -1. الجيب تاج لأي زاوية تقع في الربع الرابع من الدائرة الوحدة هو الناتج السالب لقيمة الجيب للزاوية المُكملة لها في الربع الثاني، والتي تكون (π – الزاوية). في هذه الحالة، الزاوية المكملة لـ -π/2 هي (π – (-π/2)) = (π + π/2)، وقيمة الجيب تاج لها تكون نفس قيمة الجيب تاج للزاوية -π/2.

لذا، يمكن كتابة الحل كالتالي:
$\sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) = \sin \left( \pi + \frac{\pi}{2} \right)$

ونعلم أن قيمة الجيب تاج للزاوية في الربع الثاني هي نفس قيمة الجيب تاج للزاوية في الربع الرابع. لذا:
$\sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) = -\sin \left( \frac{\pi}{2} \right)$

ونعلم أن قيمة الجيب تاج للزاوية π/2 هي 1، إذاً:
$\sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) = -1$

إذاً، قيمة الجيب للزاوية -π/2 هي -1.

لحل المسألة، سنستخدم بعض القوانين والمفاهيم المتعلقة بالدوال الزائدة والمثلثات. الزاوية المطلوبة في المسألة هي -π/2، وسنقوم بتحليل الحل خطوة بخطوة باستخدام القوانين التالية:

1. قانون الزاوية المكملة:
   قانون يقول إن مجموع قياسين لزاويتين مكملتين يساوي 180 درجة. يمكن تعبير زاوية مكملة لزاوية θ بالصيغة: مكملة(θ) = 180° – θ.

2. الدورة الكاملة للدائرة:
   الدائرة الكاملة تمتد على 360 درجة. إذاً، إذا كانت لدينا زاوية θ، يمكننا تعبير زاوية مكملة لها على الدائرة الكاملة بالصيغة: مكملة(θ) = 360° – θ.

3. تحليل الزوايا السالبة:
   عند التعامل مع زوايا سالبة، يمكننا تحليلها بناءً على الدورة الكاملة. مثلاً، -π/2 يمكن تعبيرها كـ 360° – (π/2)، حيث أن π/2 تمثل 90 درجة.

بناءً على هذه القوانين، نقوم بتحليل الزاوية المطلوبة:
$\text{زاوية مكملة}(-\frac{\pi}{2}) = 180° – (-\frac{\pi}{2}) = 180° + \frac{\pi}{2}$

ونعلم أنه في الدورة الكاملة:
$\text{زاوية مكملة}(-\frac{\pi}{2}) = 360° – (-\frac{\pi}{2})$

لكن نرى أنهما يؤديان إلى نفس النتيجة:
$180° + \frac{\pi}{2} = 360° – (-\frac{\pi}{2})$

الآن، بناءً على هذا التحليل، نستخدم القاعدة الأساسية للجيب تاج:
$\sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2})$

ونعلم أن قيمة الجيب تاج للزاوية π/2 هي 1:
$\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$

لذا، قيمة الجيب للزاوية -π/2 هي -1، وهو الحل النهائي.