حساب قيمة ثابت k في معادلة مركز الثقل (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية تطلب حساب قيمة الثابت k في المعادلة التالية:

$PA^2 + PB^2 + PC^2 = k \cdot PG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2$

حيث أن G هي مركز الثقل (المركز الهندسي) للمثلث ABC و P هو نقطة عشوائية.

الحل:

لحساب القيمة المطلوبة للثابت k، سنستخدم خصائص مركز الثقل ونستفيد من الربط بين مركز الثقل والنقاط الثلاثة للمثلث.

من الخصائص المعروفة لمركز الثقل، نعلم أنه يقسم كل مستقيم مستقيم الذي يمر بين نقطة المثلث ومركز الثقل بنسبة 2:1. بمعنى آخر، فإن مركز الثقل يقسم أي مستقيم إلى قسمين، حيث يكون القسم القريب من المثلث ضعف البعد عن النقطة البعيدة.

نعلم أيضًا أن $GA = \frac{2}{3} PG$ و $GB = \frac{2}{3} PB$ و $GC = \frac{2}{3} PC$.

وبالنظر إلى المعادلة المعطاة، نستطيع استبدال قيم $GA^2$ و $GB^2$ و $GC^2$ بالتعبيرات الجديدة التي تتضمن مسافات PG، PB، و PC.

نحصل على:

$PA^2 + PB^2 + PC^2 = k \cdot PG^2 + \left(\frac{2}{3} PG\right)^2 + \left(\frac{2}{3} PB\right)^2 + \left(\frac{2}{3} PC\right)^2$

بعد توحيد المعاملات، نحصل على:

$PA^2 + PB^2 + PC^2 = k \cdot PG^2 + \frac{4}{9} (PG^2 + PB^2 + PC^2)$

وبتبسيط المعادلة، نحصل على:

$PA^2 + PB^2 + PC^2 = k \cdot PG^2 + \frac{4}{9} (PA^2 + PB^2 + PC^2)$

نقوم بتبسيط المعادلة بمراجعة وجمع المتطابقات:

$\frac{5}{9} (PA^2 + PB^2 + PC^2) = k \cdot PG^2$

ومن ثم نحصل على:

$k = \frac{5}{9}$

إذاً، قيمة الثابت k في المعادلة المعطاة تساوي ٥/٩.

في حل المسألة المعطاة، استخدمنا عدة مفاهيم وقوانين هندسية للوصول إلى الإجابة النهائية. هذه هي القوانين والمفاهيم التي استخدمناها:

1. مركز الثقل (المركز الهندسي) للمثلث:

   • يعتبر المركز الهندسي للمثلث نقطة تقاطع الأوسط للأضلاع.
   • يقسم كل مستقيم يمر بين نقطة المثلث ومركز الثقل بنسبة 2:1، حيث يكون القسم القريب من المثلث ضعف البعد عن النقطة البعيدة.

2. قوانين مسافات مركز الثقل:

   • يتناسب مربع المسافة بين النقطة ومركز الثقل مع مجموع مربعات الأضلاع المتصلة بهذه النقطة.
   • يعبر ذلك الاعتبار بأن $GA = \frac{2}{3} PG$ و $GB = \frac{2}{3} PB$ و $GC = \frac{2}{3} PC$.

3. مساحات المثلث:

   • استخدمنا مفهوم مساحات المثلث والتناسب بينها مع مربعات الأضلاع لتبسيط المعادلة.

4. التبسيط الجبري:

   • تم استخدام الجبر في تحويل المعادلة الأصلية إلى شكل يسهل حساب الثابت k.

5. قوانين الجبر والتوحيد:

   • استخدمنا القوانين الجبرية لتوحيد المعاملات والمصطلحات المتشابهة في المعادلة.

من خلال استخدام هذه القوانين والمفاهيم، تمكنا من تحويل المسألة إلى معادلة قابلة للحل بواسطة الجبر، وبعد العمليات اللازمة والتبسيط وجدنا أن قيمة الثابت k تساوي $\frac{5}{9}$.