حساب قيمة تحقيق جذرين حقيقيين (مسألة رياضيات)

نطرح المعادلة التربيعية التي قدمتها:

$8x^2 + 15x + c = 0$

للوصول إلى الجذرين الحقيقيين، يجب أن يكون مُحدد الجذر (الديسكريمينانتا) موجبًا أو يساوي الصفر، وهو ما نعبر عنه بالعلاقة:

$b^2 – 4ac \geq 0$

حيث $a$، $b$، و $c$ هي معاملات المعادلة التربيعية. في هذه الحالة، $a = 8$، $b = 15$، و $c$ هو المتغير الذي نبحث عن قيمته.

نقوم بتطبيق الشرط:

$15^2 – 4 \cdot 8 \cdot c \geq 0$

$225 – 32c \geq 0$

الآن نقوم بحساب قيمة $c$:

$32c \leq 225$

$c \leq \frac{225}{32}$

القيم الممكنة لـ $c$ هي الأعداد الصحيحة الموجبة المقلوبة لهذا الناتج:

$c \leq \frac{225}{32}$

إذاً، القيم الممكنة لـ $c$ هي: 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7.

نتحقق من أن هذه القيم تحقق الشرط لوجود جذرين حقيقيين. يتم ذلك عندما يكون المعادلة $8x^2 + 15x + c = 0$ ذات قيمة ديسكريمينانتا ($b^2 – 4ac$) أكبر من أو يساوي الصفر. لنقم بالتحقق من ذلك:

لنفرض $c = 1$، ثم نقوم بحساب الديسكريمينانتا:

$15^2 – 4 \cdot 8 \cdot 1 = 225 – 32 = 193$

نجد أن القيمة موجبة، إذاً $c = 1$ هي قيمة صحيحة.

نقوم بتكرار العملية للقيم الأخرى:

1. $c = 2$: $15^2 – 4 \cdot 8 \cdot 2 = 193 – 64 = 129$
2. $c = 3$: $15^2 – 4 \cdot 8 \cdot 3 = 193 – 96 = 97$
3. $c = 4$: $15^2 – 4 \cdot 8 \cdot 4 = 193 – 128 = 65$
4. $c = 5$: $15^2 – 4 \cdot 8 \cdot 5 = 193 – 160 = 33$
5. $c = 6$: $15^2 – 4 \cdot 8 \cdot 6 = 193 – 192 = 1$
6. $c = 7$: $15^2 – 4 \cdot 8 \cdot 7 = 193 – 224 = -31$

نجد أن القيم الصحيحة الممكنة لـ $c$ هي 1، 2، 3، 4، 5، 6. إذاً، نقوم بضربها جميعًا للحصول على الناتج النهائي:

$1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 = 720$

إذا كانت جميع القيم الصحيحة لـ $c$ التي تحقق الشرط تعطينا الناتج النهائي هو 720.

لحل هذه المسألة، نستخدم مفهوم الديسكريمينانتا ($b^2 – 4ac$) وشرط وجود جذرين حقيقيين. نقوم بتطبيق القوانين التالية:

1. معادلة الديسكريمينانتا:
   لمعرفة متى تكون لدينا جذرين حقيقيين، نستخدم معادلة الديسكريمينانتا:

   $b^2 – 4ac \geq 0$

2. شرط وجود جذرين حقيقيين:
   إذا كانت قيمة الديسكريمينانتا أكبر من أو تساوي الصفر ($b^2 – 4ac \geq 0$)، فإن المعادلة التربيعية ستكون لها جذرين حقيقيين.

بالتطبيق على المسألة:

المعادلة التربيعية: $8x^2 + 15x + c = 0$

1. معاملات المعادلة:

   • $a = 8$
   • $b = 15$
   • $c$ هو المتغير الذي نبحث عن قيمته.

2. معادلة الديسكريمينانتا:
   نقوم بكتابة معادلة الديسكريمينانتا وحلها:
   $b^2 – 4ac \geq 0$
   $15^2 – 4 \cdot 8 \cdot c \geq 0$
   $225 – 32c \geq 0$
   $32c \leq 225$
   $c \leq \frac{225}{32}$

3. تحديد القيم الممكنة لـ $c$:
   القيم الممكنة لـ $c$ هي الأعداد الصحيحة الموجبة المقلوبة لناتج العملية السابقة. إذاً:
   $c \leq \frac{225}{32}$

4. التحقق من القيم:
   نقوم بتحديد أي من القيم الممكنة لـ $c$ تحقق شرط وجود جذرين حقيقيين. نجد أن القيم التي تحقق الشرط هي: 1، 2، 3، 4، 5، 6.

5. حساب المنتج:
   نقوم بضرب هذه القيم معًا للحصول على الناتج النهائي:
   $1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 = 720$

باختصار، قمنا بتحليل المعادلة التربيعية باستخدام قاعدة الديسكريمينانتا وشرط وجود جذرين حقيقيين. كما قمنا بحساب القيم الممكنة لـ $c$ والتحقق منها للوصول إلى القيم التي تحقق الشرط، وأخيرًا قمنا بضرب هذه القيم للحصول على الناتج النهائي.