حساب قيمة المتغير X في سلسلة رياضية (مسألة رياضيات)

نريد حساب قيمة المتسلسلة التالية:
$\frac{1}{5 + 1} + \frac{2}{5^2 + 1} + \frac{4}{5^4 + 1} + \frac{8}{5^8 + 1} + \frac{16}{5^{16} + X + \dotsb}.$
إذا كانت القيمة المعروفة لهذا المتسلسل هي $\frac{1}{4}$، فما هو قيمة المتغير المجهول $X$؟

لحل هذه المسألة، يمكننا ملاحظة أن المتسلسلة تتبع نمط الأسس، حيث تكون قوى الـ$5$ مضاعفة. لذا، العنصر القادم في المتسلسلة سيكون بقوة $5^{32}$ وسيكون له مقام يساوي $X$.

لحساب المتسلسلة، نبدأ بتمثيل كل عنصر ككسر جزئي:

العنصر الأول: $\frac{1}{5 + 1} = \frac{1}{6}$

العنصر الثاني: $\frac{2}{5^2 + 1} = \frac{2}{26} = \frac{1}{13}$

العنصر الثالث: $\frac{4}{5^4 + 1} = \frac{4}{626} = \frac{2}{313}$

العنصر الرابع: $\frac{8}{5^8 + 1} = \frac{8}{390626} = \frac{4}{195313}$

العنصر الخامس: $\frac{16}{5^{16} + X + \dotsb}$

الآن، إذا كانت قيمة المتسلسلة المعروفة تساوي $\frac{1}{4}$، فإننا نجمع جميع القيم المحسوبة ونضيف العنصر الخامس ونجعل المجموع يساوي $\frac{1}{4}$، ونقوم بحساب قيمة $X$.

$\frac{1}{6} + \frac{1}{13} + \frac{2}{313} + \frac{4}{195313} + \frac{16}{5^{16} + X + \dotsb} = \frac{1}{4}$

الآن، نبدأ بحساب المتسلسلة:

$\frac{1}{6} + \frac{1}{13} + \frac{2}{313} + \frac{4}{195313} + \frac{16}{5^{16} + X + \dotsb} = \frac{1}{4}$

من ثم نجمع الكسور المعادلة:

$\frac{1}{6} + \frac{1}{13} + \frac{2}{313} + \frac{4}{195313} + \frac{16}{5^{16} + X + \dotsb} = \frac{1}{4}$

$\frac{1}{6} + \frac{1}{13} + \frac{2}{313} + \frac{4}{195313} + \frac{16}{5^{16} + X + \dotsb} = \frac{1}{4}$

$\frac{1}{4} = \frac{1}{6} + \frac{1}{13} + \frac{2}{313} + \frac{4}{195313} + \frac{16}{5^{16} + X + \dotsb}$

$\frac{1}{4} – \frac{1}{6} – \frac{1}{13} – \frac{2}{313} – \frac{4}{195313} = \frac{16}{5^{16} + X + \dotsb}$

الآن، نقوم بطرح الكسور:

$\frac{1}{4} – \frac{1}{6} – \frac{1}{13} – \frac{2}{313} – \frac{4}{195313} = \frac{16}{5^{16} + X + \dotsb}$

$\frac{3}{52} – \frac{2}{13} – \frac{2}{313} – \frac{4}{195313} = \frac{16}{5^{16} + X + \dotsb}$

الآن، نقوم بجمع الكسور اليسارية:

$\frac{3 \times 313 \times 195313 – 2 \times 195313 \times 15269 – 2 \times 195313 \times 52 – 4 \times 15269 \times 52}{52 \times 13 \times 313 \times 195313} = \frac{16}{5^{16} + X + \dotsb}$

نقوم بحساب قيمة المقام اليساري:

$52 \times 13 \times 313 \times 195313 = 77308775872$

ونقوم بحساب البسط اليساري:

$3 \times 313 \times 195313 – 2 \times 195313 \times 15269 – 2 \times 195313 \times 52 – 4 \times 15269 \times 52 = 75186252950$

الآن نقوم بتقسيم البسط على المقام:

$\frac{75186252950}{77308775872} = \frac{16}{5^{16} + X + \dotsb}$

نحتاج إلى أن يكون الجهة اليمنى من المعادلة $\frac{1}{4}$، لذا:

$\frac{75186252950}{77308775872} = \frac{16}{4}$

نقوم بحساب القيمة اليمينة:

$\frac{75186252950}{77308775872} = 0.972873$

الآن، نقوم بت

لحل المسألة وتحديد قيمة المتغير $X$ في المتسلسلة المعطاة، نحتاج إلى تحليل النمط الذي يتبعه المتسلسل واستخدام بعض القوانين والمفاهيم الرياضية.

المتسلسلة التي نريد حساب قيمتها هي:
$\frac{1}{5 + 1} + \frac{2}{5^2 + 1} + \frac{4}{5^4 + 1} + \frac{8}{5^8 + 1} + \frac{16}{5^{16} + X + \dotsb}$

المتسلسلة تبدو وكأنها تتبع نمط الأسس، حيث يتضاعف الأس الأساسي للـ$5$ مع كل عنصر في المتسلسلة. هذا يشير إلى استخدام قوانين الأسس في الجبر لحل المسألة.

نقوم بتمثيل كل عنصر ككسر جزئي. على سبيل المثال، العنصر الأول:
$\frac{1}{5 + 1} = \frac{1}{6}$
العنصر الثاني:
$\frac{2}{5^2 + 1} = \frac{2}{26} = \frac{1}{13}$
العنصر الثالث:
$\frac{4}{5^4 + 1} = \frac{4}{626} = \frac{2}{313}$
وهكذا.

نلاحظ أن العناصر تتبع نمطًا متناسقًا. بالتالي، نستخدم مفهوم المجموع اللامتناهي لتمثيل المتسلسلة كمجموع لعدد لامتناهٍ من العناصر.

نقوم بجمع العناصر المعروفة ونضيف العنصر الخامس ونحاول حل المعادلة الناتجة للعثور على قيمة المتغير $X$.

نستخدم أيضًا قوانين الكسور البسيطة لجمع الكسور وطرحها وتبسيطها للوصول إلى المعادلة النهائية.

في النهاية، نحتاج إلى حل المعادلة التي تمثل المتسلسلة بأكملها للعثور على قيمة $X$ المطلوبة.

باختصار، القوانين والمفاهيم المستخدمة تشمل:

1. قوانين الأسس في الجبر.
2. مفهوم المجموع اللامتناهي.
3. قوانين الكسور البسيطة وعمليات الجمع والطرح.
4. حل المعادلات الجبرية.

باستخدام هذه القوانين والمفاهيم، يمكننا حساب قيمة المتغير $X$ في المتسلسلة المعطاة.