حساب قيمة المتغير المجهول في مصفوفة مثلثية (مسألة رياضيات)

لنقم بحساب قيمة المتغير المجهول $X$ في المعادلة المعطاة:

$\begin{vmatrix} \tan A & 1 & 1 \\ 1 & \tan B & 1 \\ 1 & X & \tan C \end{vmatrix}$

من المعادلة الثانية، يمكننا استخدام قاعدة التفاضل المعرفة للتمام عندما تكون القيم متساوية لدالة التمام التانجنت. وبما أن $B$ و $C$ متساويتان، فإن $\tan B = \tan C$.

من المعادلة الثالثة، سنربط القيمتين $X$ و $C$ بالطريقة نفسها. لكن هذه المرة، سنقوم بحساب $X$ بواسطة الجمع بين قيمتي $\tan B$ و $\tan C$ ثم طرحها من $\tan A$:

$X = \tan A + \tan C – \tan B$

الآن، لتحقيق الهدف الرئيسي من حساب قيمة $X$، يجب أن نتذكر أن المعادلة الناتجة عن حساب الدليل لهذه المصفوفة يمكن تمثيلها بالشكل التالي:

$\begin{vmatrix} \tan A & 1 & 1 \\ 1 & \tan B & 1 \\ 1 & \tan A + \tan C – \tan B & \tan C \end{vmatrix}$

للوصول إلى الحل النهائي، نحتاج إلى حساب قيمة هذه المصفوفة. لكن بما أن الحل الناتج هو 2، فإننا نستطيع استخدام هذا المعلومة لمطابقة حساباتنا. إذاً، سنحل المعادلة:

$\begin{vmatrix} \tan A & 1 & 1 \\ 1 & \tan B & 1 \\ 1 & \tan A + \tan C – \tan B & \tan C \end{vmatrix} = 2$

وبما أن الحل هو 2، فإن الآن لدينا المعادلة التالية:

$\tan A (\tan B \cdot \tan C – 1) – \tan B + \tan C – \tan A = 2$

الآن، يتبقى حل هذه المعادلة للعثور على قيمة $X$، والتي تمثل فارق الدالة التانجنت بين الزوايا $B$ و $C$.

لحل هذه المسألة، سنستخدم عدة مفاهيم وقوانين من الجبر والهندسة الزاوية. سنبدأ بتوضيح هذه القوانين والمفاهيم ثم نستخدمها في حساب القيمة المطلوبة للمتغير $X$.

1. قاعدة التفاضل للدوال المثلثية:
   في المثلث، إذا كانت الزوايا $B$ و $C$ متساويتان، فإن الظاهرة الواقعية تنطبق والتي تقول: $\tan B = \tan C$. هذه القاعدة تعتمد على الخاصية الزاوية المثلثية للمثلث.

2. معادلة الدليل:
   معادلة الدليل هي معادلة لحساب قيمة الدليل لمصفوفة معينة. يتم استخدامها لحساب القيمة المطلوبة للمصفوفة المعطاة في المسألة.

الآن، سنبدأ بتطبيق هذه القوانين على المصفوفة المعطاة:

المصفوفة المعطاة:

$\begin{vmatrix} \tan A & 1 & 1 \\ 1 & \tan B & 1 \\ 1 & X & \tan C \end{vmatrix}$

باستخدام قاعدة التفاضل، نعرف أن $\tan B = \tan C$.

ثم، سنقوم بحساب قيمة $X$ بالطريقة التالية:

$X = \tan A + \tan C – \tan B$

الآن، بما أن الحل النهائي هو 2، فإننا سنستخدم هذه المعلومة لمطابقة حساباتنا. سنحل المعادلة التالية:

$\begin{vmatrix} \tan A & 1 & 1 \\ 1 & \tan B & 1 \\ 1 & \tan A + \tan C – \tan B & \tan C \end{vmatrix} = 2$

وبما أن الحل هو 2، فإن الآن لدينا المعادلة التالية:

$\tan A (\tan B \cdot \tan C – 1) – \tan B + \tan C – \tan A = 2$

الآن، نستخدم المعادلة السابقة لحساب قيمة $X$، والتي تمثل فارق الدالة التانجنت بين الزوايا $B$ و $C$.