حساب قيمة التمام للزاوية 120 درجة (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية: احسب قيمة التمام للظاهرة الزاوية 120 درجة.

الحل:
نعلم أن قيمة التمام للظاهرة الزاوية 120 درجة تكافئ قيمة التمام للظاهرة الزاوية (180 – 120) درجة = 60 درجة.

نعرف أن قيمة الظاهرة الزاوية 60 درجة تعادل قيمة الجيب التمام للظاهرة الزاوية 60 درجة.
وبالتالي:
$\tan 60^\circ = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 60^\circ}$

يمكننا استخدام قيم الجيب والجيب التمام للظواهر الزاوية الشهيرة في الدائرة الموحدة:
$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

وبالتالي:
$\tan 60^\circ = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$

إذاً، قيمة التمام للظاهرة الزاوية 120 درجة تكافئ $\sqrt{3}$.

لحساب قيمة التمام للظاهرة الزاوية 120 درجة، نستخدم القوانين الأساسية للجبر والهندسة الزاوية. القوانين التي نستخدمها تشمل:

1. تممية الزوايا: تقول إن مجموع قياسات زوايا التكميل يساوي 180 درجة. هذا يعني أن الزاوية 120 درجة وزاويتها المتممة (الزاوية التي تجعل معها مجموع الزوايا يساوي 180 درجة) تكون مجموعها 180 درجة.

2. التماثل في المثلثات المتساوية الأضلاع: في مثلث متساوي الأضلاع، الأضلاع الثلاثة متساوية، وبالتالي، زوايا المثلث الداخلية متساوية أيضًا.

3. التعريفات الأساسية لدوال الجيب: السين والكوسين والتانجنت تعرف بنسبة الأضلاع في المثلث المقابلة للزوايا المعطاة في الدائرة الموحدة.

الحل:

نحن بحاجة إلى حساب قيمة دالة التانجنت للزاوية 120 درجة. نستطيع فعل ذلك بمعرفة قيم السين والكوسين لهذه الزاوية، ثم قسم قيمة السين على قيمة الكوسين.

أولاً، نستخدم مفهوم تممية الزوايا: $120^\circ + x = 180^\circ$ حيث $x$ هو المتمم للزاوية 120 درجة.

بالتالي: $x = 180^\circ – 120^\circ = 60^\circ$.

ثم، نستخدم مفهوم التماثل في المثلثات المتساوية الأضلاع للعثور على قيم السين والكوسين للزاوية 60 درجة.
في مثلث متساوي الأضلاع، الأضلاع متساوية، وبالتالي زوايا المثلث الداخلية متساوية.

قيم السين والكوسين للزاوية 60 درجة هي:
$\sin 60^\circ = \frac{{\text{ضلع مقابلة للزاوية}}}{{\text{الوتر}}} = \frac{{\sqrt{3}}}{2}$
$\cos 60^\circ = \frac{{\text{الضلع المجاور للزاوية}}}{{\text{الوتر}}} = \frac{1}{2}$

بعد ذلك، نستخدم قانون دالة التانجنت:
$\tan \theta = \frac{{\sin \theta}}{{\cos \theta}}$

ونقوم بتعويض قيم السين والكوسين:
$\tan 120^\circ = \frac{{\sin 120^\circ}}{{\cos 120^\circ}}$

نستخدم التممية لإيجاد قيمة السين والكوسين للزاوية 120 درجة:
$\sin 120^\circ = \sin (180^\circ – 120^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{{\sqrt{3}}}{2}$
$\cos 120^\circ = \cos (180^\circ – 120^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$

ونقوم بالتعويض:
$\tan 120^\circ = \frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{-\frac{1}{2}}} = -\sqrt{3}$

لذا، قيمة دالة التانجنت للزاوية 120 درجة هي $-\sqrt{3}$.