حساب قيمة التعبير 9! / 8! (مسألة رياضيات)

نريد حساب قيمة التعبير التالي:

$\frac{9!}{8!}$

نعلم أن $n!$ تعني ضرب جميع الأعداد الصحيحة من 1 إلى $n$ بما في ذلك $n$ نفسه. فمثلاً، $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

الآن، لحساب $9!$، نبدأ بالضرب من 1 حتى 9:

$9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

ومن ثم نقوم بحساب $8!$، وهو:

$8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

الآن، يتضح لنا أن $9!$ يمكن أن يُفكَّك ليكون:

$9! = 9 \times 8!$

إذاً، يمكننا استبدال $9!$ بقيمتها المُفككة، والتي هي $9 \times 8!$، في التعبير الأصلي:

$\frac{9!}{8!} = \frac{9 \times 8!}{8!}$

نلاحظ أن $8!$ يُمكن إلغاءه من العداد والمقام، لذلك يُبقى الجزء الذي يُشير إلى قيمة 9 وهو 9.

إذاً، قيمة التعبير هي 9.

لحساب قيمة التعبير $\frac{9!}{8!}$ بدون استخدام الآلة الحاسبة، يمكننا الاعتماد على بعض القوانين والمفاهيم الأساسية في الحساب:

1. قانون الضرب في حساب العوامل: عندما نقوم بحساب $n!$، فإننا نقوم بضرب جميع الأعداد الصحيحة من 1 إلى $n$.

2. قانون القسمة على الواحد: أي عدد مقسوم على الواحد يساوي نفسه.

3. قانون إلغاء العوامل المشتركة في البسط والمقام: يمكن إلغاء العوامل المشتركة بين البسط والمقام.

لحل المسألة، نستخدم هذه القوانين بالشكل التالي:

أولاً، نحسب قيمة $9!$ و $8!$:

$9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$
$8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

ثم، نقوم بإلغاء العوامل المشتركة بين البسط والمقام، وهي $8!$:

$\frac{9!}{8!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$

نلاحظ أن جميع العوامل في $8!$ تُلغى، ويُبقى فقط العامل 9:

$\frac{9!}{8!} = 9$

إذاً، قيمة التعبير $\frac{9!}{8!}$ هي 9.

هذا الحل يعتمد على فهم قوانين الضرب، القسمة، وإلغاء العوامل المشتركة في البسط والمقام للأعداد.