نرغب في حساب قيمة التعبير التالي: $\left|\left(1+i\right)^6\right|$.
لحسن الفهم، دعونا نقوم بتحليل العناصر المتضمنة في هذا التعبير. نعلم أن $i$ هو الوحدة الخيالية حيث أن $i^2 = -1$. الجزء الآخر في التعبير هو $(1+i)$ والذي يمثل عددًا مركبًا.
لحساب هذا التعبير، يمكننا استخدام قاعدة التوسيع العظمى:
حيث $a$ و $b$ هما الأعداد المعنية و $n$ هو الرقم العظيم. في هذه الحالة، $a=1$ و $b=i$ و $n=6$.
لذا، نقوم بتوسيع $(1+i)^6$ كالتالي:
لنقم بحساب القيم الفردية، حيث $\binom{6}{k} = \frac{6!}{k!(6-k)!}$:
& = -14 – 7i\end{split}\] الآن، نريد حساب القيمة المطلقة لهذا العدد $|-14 – 7i|$، والتي تعطى بواسطة القاعدة:
\[|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}\] لذا:
\[|-14 – 7i| = \sqrt{(-14)^2 + (-7)^2} = \sqrt{196 + 49} = \sqrt{245}\] إذاً، القيمة المطلقة للتعبير $\left|\left(1+i\right)^6\right|$ هي $\sqrt{245}$.
المزيد من المعلومات
بالطبع، دعونا نستكمل تحليل المسألة ونستخدم بعض القوانين والمفاهيم الرياضية للوصول إلى الإجابة.
التعبير الذي نحاول حساب قيمته هو $\left|\left(1+i\right)^6\right|$، وفي هذا السياق، سنقوم بتوسيع $(1+i)^6$ باستخدام القاعدة العامة لتوسيع الأقواس:
حيث $a$ و $b$ هما الأعداد المعنية و $n$ هو الرقم العظيم. في حالتنا، $a=1$ و $b=i$ و $n=6$. لذا، يكون التوسيع كما يلي:
& = -14 – 7i\end{split}\] الآن، نريد حساب القيمة المطلقة لهذا العدد، وفي هذه الحالة، نستخدم قاعدة حساب القيمة المطلقة:
\[|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}\] باستخدام هذه القاعدة، يمكننا حساب القيمة المطلقة للتعبير:
\[|-14 – 7i| = \sqrt{(-14)^2 + (-7)^2} = \sqrt{196 + 49} = \sqrt{245}\] القوانين والمفاهيم المستخدمة في الحل:
1. **قاعدة التوسيع العظمى:** $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$.
2. **قاعدة حساب القيمة المطلقة:** $|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$.
تم استخدام هاتين القاعدين لتوسيع التعبير وحساب القيمة المطلقة بشكل صحيح.