حساب قوى المصفوفة وتحديد قيمة متغير في حل مسألة (مسألة رياضيات)

نعطيتنا مصفوفة:

$A = \begin{pmatrix} X & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

ونحتاج إلى حساب $A^{2018}$. الحل يعتمد على تفكيك هذه المصفوفة إلى مصفوفتين أو أكثر، ثم رفعها إلى القوة المطلوبة.

لنبدأ بحساب بضع قوى للمصفوفة A لفهم النمط:

$A^2 = \begin{pmatrix} X & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} X & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X^2 & 0 \\ X+1 & 1 \end{pmatrix}$

$A^3 = A \times A^2 = \begin{pmatrix} X & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} X^2 & 0 \\ X+1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X^3 & 0 \\ X^2 + X+1 & 1 \end{pmatrix}$

نرى نمطًا يظهر، وهو أن العنصر في الزاوية اليمنى السفلى دائمًا 1، والعنصر في الزاوية اليسرى السفلى دائمًا يكون مجموع الأعداد السابقة. لذا، إذا قمنا بحساب بعض القوى الأخرى، سنجد أن:

$A^4 = \begin{pmatrix} X^4 & 0 \\ X^3 + X^2 + X+1 & 1 \end{pmatrix}$

$A^5 = \begin{pmatrix} X^5 & 0 \\ X^4 + X^3 + X^2 + X+1 & 1 \end{pmatrix}$

وهكذا، نجد أن لدينا نمطًا يتكرر كل أربعة أسطر. الآن، عندما نريد حساب $A^{2018}$، نستطيع تقديم القوة المطلوبة كمضاعفة للعدد 504 (2018 ÷ 4) وبهذا نكون قد حسبنا القوة المطلوبة.

الآن، نحن بحاجة إلى فحص ما إذا كانت المصفوفة الناتجة متطابقة مع المصفوفة الوحدة $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$، وذلك للوصول إلى قيمة المتغير $X$ التي تجعل العبارة صحيحة. بمجرد القيام بالحسابات، نجد أن $X$ يكون يساوي 1.

إذاً، القيمة الصحيحة للمتغير $X$ هي 1.

لحل هذه المسألة، سنقوم بحساب قوى المصفوفة $A = \begin{pmatrix} X & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ حتى نصل إلى القوة المطلوبة $A^{2018}$ ونحاول تحديد قيمة المتغير $X$ التي تجعل الناتج يكون مصفوفة وحدة.

لنبدأ بحساب بعض القوى:

$A^2 = \begin{pmatrix} X^2 & 0 \\ X+1 & 1 \end{pmatrix}$

$A^3 = A \times A^2 = \begin{pmatrix} X & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} X^2 & 0 \\ X+1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X^3 & 0 \\ X^2 + X+1 & 1 \end{pmatrix}$

$A^4 = \begin{pmatrix} X^4 & 0 \\ X^3 + X^2 + X+1 & 1 \end{pmatrix}$

$A^5 = \begin{pmatrix} X^5 & 0 \\ X^4 + X^3 + X^2 + X+1 & 1 \end{pmatrix}$

نجد أن هناك نمطًا يتكرر، حيث يكون العنصر في الزاوية اليمنى السفلى دائمًا 1، والعنصر في الزاوية اليسرى السفلى دائمًا يكون مجموع الأعداد السابقة.

القوانين المستخدمة:

1. ضرب مصفوفة في مصفوفة:
   لحساب $A^2$، قمنا بضرب مصفوفة $A$ في نفسها.

2. تكرار النمط:
   لوحظ أن هناك نمطًا يتكرر في قوى المصفوفة، حيث يكون العنصر في الزاوية اليمنى السفلى دائمًا 1، والعنصر في الزاوية اليسرى السفلى دائمًا يكون مجموع الأعداد السابقة.

3. تحليل النمط:
   بفحص النمط المتكرر، وجدنا أن القوة الرابعة تكون لها نمط مماثل، والقوة الخامسة تكرر النمط أيضًا.

بمجرد أن قمنا بفحص النمط، يمكننا استنتاج أن $A^{2018}$ يمكن أن تُكتب على الشكل التالي:

$A^{2018} = \begin{pmatrix} X^{2018} & 0 \\ X^{2017} + X^{2016} + \ldots + X + 1 & 1 \end{pmatrix}$

الآن، لنجد قيمة المتغير $X$ التي تجعل $A^{2018}$ تساوي المصفوفة الوحدة $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. لذا، نضع شرطًا على العنصر في الزاوية اليمنى العلوية ($X^{2018}$) أن يكون يساوي 1.

$X^{2018} = 1$

ومن هنا نجد أن $X$ يجب أن تكون قيمته 1.