مسائل رياضيات

حساب قوى المصفوفة الثلاثية بالجبر الخطي (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 25/12/2023
0

المعطيات:
A=(00X00−1010).\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & X \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

السؤال:
احسب قيمة $\mathbf{A}^{95}.$

مواضيع ذات صلة

الحل:
لحساب $\mathbf{A}^{95}$، يمكننا رؤية أن القوة الفردية للمصفوفة $\mathbf{A}$ تأخذ نمطًا محددًا. لنحسب بعض القوى الفردية لفهم هذا النمط.

A2=(00X00−1010)(00X00−1010)=(0−X0X0000−1).\mathbf{A}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & X \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & X \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -X & 0 \\ X & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

A3=A⋅A2=(00X00−1010)(0−X0X0000−1)=(0−1000−XX00).\mathbf{A}^3 = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & X \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -X & 0 \\ X & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -X \\ X & 0 & 0 \end{pmatrix}.

يبدو أن هناك نمطًا يتكرر بين القوى الزوجية والفردية للمصفوفة. إذاً، يمكننا التنبؤ بأن القوة الخامسة والتاسعة وهكذا ستكون مشابهة للمصفوفة الأصلية.

A5=A3⋅A2=(0−1000−XX00)(0−X0X0000−1)=(X000−1000−X).\mathbf{A}^5 = \mathbf{A}^3 \cdot \mathbf{A}^2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -X \\ X & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -X & 0 \\ X & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -X \end{pmatrix}.

نرى أنه يمكننا تعبئة جدول للقوى المختلفة:

A2:(0−X0X0000−1)A3:(0−1000−XX00)A4:(X0001000X)A5:(X000−1000−X)\begin{align*} \mathbf{A}^2 & : \begin{pmatrix} 0 & -X & 0 \\ X & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \\ \mathbf{A}^3 & : \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -X \\ X & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \mathbf{A}^4 & : \begin{pmatrix} X & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & X \end{pmatrix} \\ \mathbf{A}^5 & : \begin{pmatrix} X & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -X \end{pmatrix} \\ \end{align*}

نرى أنه يتكرر نمط بين القوى الفردية والزوجية. لذلك، يمكننا كتابة الإجابة النهائية:

A95=(A5)19⋅A4=(X000−1000−X)19⋅(X0001000X)=(0000010−10).\mathbf{A}^{95} = (\mathbf{A}^5)^{19} \cdot \mathbf{A}^4 = \begin{pmatrix} X & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -X \end{pmatrix}^{19} \cdot \begin{pmatrix} X & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & X \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}.

إذا كانت الإجابة المعطاة هي:

(0000010−10),\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix},

فإن القيمة المجهولة $X$ هي صفر.

المزيد من المعلومات

لحل هذه المسألة، سنقوم بحساب قوى المصفوفة A\mathbf{A} حتى نصل إلى القوة A95\mathbf{A}^{95}. سنستخدم بعض الخصائص الجبرية لتسهيل الحسابات.

المعطيات:
A=(00X00−1010).\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & X \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

الهدف:
حساب A95.\mathbf{A}^{95}.

الخطوات:

  1. حساب القوى الفردية:
    نبدأ بحساب القوى الفردية للمصفوفة A\mathbf{A} حتى نفهم النمط:

    \mathbf{A}^2 & = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & X \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & X \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -X & 0 \\ X & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \\
    \mathbf{A}^3 & = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & X \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -X & 0 \\ X & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -X \\ X & 0 & 0 \end{pmatrix}.
    \end{align*}\]

  2. تحليل النمط:
    نلاحظ أن هناك نمطًا يتكرر بين القوى الزوجية والفردية.

  3. تعبئة الجدول:
    نقوم بحساب بعض القوى الإضافية لفهم النمط:

    \mathbf{A}^4 & = \mathbf{A}^2 \cdot \mathbf{A}^2 = \begin{pmatrix} 0 & -X & 0 \\ X & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -X & 0 \\ X & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & X \end{pmatrix}, \\
    \mathbf{A}^5 & = \mathbf{A}^3 \cdot \mathbf{A}^2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -X \\ X & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -X & 0 \\ X & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -X \end{pmatrix}.
    \end{align*}\] يظهر أنه يتكرر نمط بين القوى الفردية والزوجية.

  4. الحساب النهائي:
    نستخدم النمط لحساب القوة المطلوبة:

    \mathbf{A}^{95} & = (\mathbf{A}^5)^{19} \cdot \mathbf{A}^4 \\
    & = \underbrace{\begin{pmatrix} X & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -X \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} X & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -X \end{pmatrix} \cdot \ldots \cdot \begin{pmatrix} X & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -X \end{pmatrix}}_{19 \text{ times}} \cdot \begin{pmatrix} X & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & X \end{pmatrix} \\
    & = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
    \end{align*}\]

قوانين الجبر المستخدمة:

  • قانون الضرب للمصفوفات.
  • تكرار النمط في قوى المصفوفات الفردية والزوجية.
  • استخدام القوة المحسوبة لحساب القوى الأخرى.

بهذا الشكل، تم حل المسألة باستخدام قوانين الجبر والتحليل النمطي للقوى.

اخر تحديث 25/12/2023
0