حساب قوة المصفوفة الدورانية (مسألة رياضيات)

لحساب $\mathbf{A}^{2018}$، يجب أولاً أن نلاحظ أن المصفوفة $\mathbf{A}$ هي مصفوفة دوران بزاوية $-\frac{\pi}{3}$ حول محور الاتجاه $y$ في الفضاء الثلاثي الأبعاد.

لحساب $\mathbf{A}^{2018}$، يمكننا استخدام خواص الدوران وتبسيط العملية. نعلم أنه عند تركيب مصفوفتي دوران، يمكننا ضرب زوايا الدوران معًا واستخدام الزاوية الناتجة للحصول على مصفوفة الدوران النهائية.

من المعادلات المثلثية، نعلم أن:
$\cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}, \quad \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}.$

وعليه، يصبح لدينا:
$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & -1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}.$

لحساب $\mathbf{A}^{2018}$، نقوم بتحليل الأسس في طاقة 2018:

$2018 = 6 \times 336 + 2.$

وهنا يأتي التحليل: المصفوفة تتناوب كل 120 درجة. بما أن 2018 يمثل 336 دورة كاملة بزاوية $-\frac{\pi}{3}$ مع 2 درجات إضافية.

$\mathbf{A}^{2018} = (\mathbf{A}^{120})^{16} \times \mathbf{A}^2.$

لحساب $\mathbf{A}^{120}$، نعلم أنها تمثل دورة كاملة للمصفوفة، لذلك:

$\mathbf{A}^{120} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & -1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}^{120} = \begin{pmatrix} \cos(-120^\circ) & 0 & -\sin(-120^\circ) \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin(-120^\circ) & 0 & \cos(-120^\circ) \end{pmatrix}.$

هذا يُعادل:

$\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$

الآن، لحساب $\mathbf{A}^{2}$، يمكننا ببساطة ضرب المصفوفة بنفسها:

$\mathbf{A}^2 = \mathbf{A} \times \mathbf{A} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & -1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & -1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}.$

عند حساب الضرب، نحصل على:

$\mathbf{A}^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$

بالتالي، نحصل على:

$\mathbf{A}^{2018} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}^{16} \times \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$

نتعامل مع القوة السادسة عشر للمصفوفة الأولى بنفس الطريقة كما فعلنا مع القوة الثانية:

$\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}^{16} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$

وبالتالي،

لحساب $\mathbf{A}^{2018}$، نحتاج إلى استخدام عدة قوانين ومفاهيم من الجبر الخطي والهندسة الخطية. سنقوم بتحليل الحل بمزيد من التفاصيل وذكر القوانين المستخدمة:

1. المصفوفات الدورانية: المصفوفات الدورانية تُستخدم لتحويل النقاط في الفضاء الثلاثي الأبعاد. تدور المصفوفة $\mathbf{A}$ بزاوية معينة حول محور معين، وهو ما يمثل الزاوية المعادلة للدوران.

2. القوى العشرية للمصفوفات: عند رفع مصفوفة دورانية إلى قوة عشرية، يمكن تقسيم القوة إلى دورات كاملة ومتبقيات. في هذه الحالة، نستخدم تقدير لعدد الدورات الكاملة ونحسب المتبقي.

3. الضرب في المصفوفات: للحصول على $\mathbf{A}^2$، يتم ضرب المصفوفة في نفسها، مما يعني تطبيق التحويل مرتين.

4. قوانين المثلثات: في حالة المثلثات، نحتاج إلى استخدام قيم الجيب والساين لحساب الدوران والتحويل بين الأبعاد.

الموضوعية الرئيسية في الحل هي فهم الطبيعة الهندسية للمصفوفة $\mathbf{A}$ كمصفوفة دورانية وتحليل الطريقة التي يمكننا من خلالها تحويلها للحصول على الناتج المطلوب. استخدمنا معرفتنا بالجبر الخطي والهندسة الرياضية لتطبيق العمليات اللازمة للوصول إلى الحل النهائي.