حساب قوة القوى لمصفوفة ذات خصائص معينة (مسألة رياضيات)

لنحسب قوة القوى للمصفوفة المعطاة $\mathbf{A}$ بحيث:

$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & X \end{pmatrix}.$

لحساب $\mathbf{A}^{95}$، نبدأ بمحاولة فهم النمط الذي يظهر في أعداد القوى المختلفة للمصفوفة. إلا أنه يبدو من الصعب إيجاد نمط واضح في هذه الحالة. لذا، سنقوم بحساب بعض القوى الأولى للمصفوفة للبحث عن أي نمط قد يظهر. لنبدأ بحساب $\mathbf{A}^2$ و $\mathbf{A}^3$:

$\mathbf{A}^2 = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & X \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & X \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$

والآن، نحسب $\mathbf{A}^3$:

$\mathbf{A}^3 = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & X \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$

يتضح من الحسابات أعلاه أن هناك نمطًا واضحًا حيث أن جميع القوى الفردية للمصفوفة تكون مصفوفة صفر. بناءً على هذا النمط، نستنتج أن $\mathbf{A}^{95}$ ستكون مصفوفة صفر. ولكن لنتأكد من الأمر، سنحسب بعض القوى الأخرى للتحقق.

$\mathbf{A}^4 = \mathbf{A}^2 \cdot \mathbf{A}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$

وهكذا تتضح النتيجة. لذا، إذا كانت $\mathbf{A}^{95}$ تكون صفرًا، يمكننا أن نؤكد أن القيمة المجهولة $X$ تكون 1.

إذاً، إذا كنا نعلم أن الإجابة للسؤال الأصلي هي:

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix},$

فإن القيمة المجهولة $X$ تكون تساوي 1.

لحل المسألة وحساب قوة القوى $\mathbf{A}^{95}$، نحتاج إلى فهم القوانين والخصائص المستخدمة في حسابات المصفوفات. في هذا السياق، سنستخدم القوانين التالية:

1. ضرب المصفوفات:
   لحساب قوة القوى، نستخدم عملية ضرب المصفوفات. إذا كانت لدينا مصفوفتين $\mathbf{A}$ و $\mathbf{B}$، فإن المصفوفة المنتجة $\mathbf{C} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}$ تحسب عن طريق ضرب صفوف الأولى في الأعمدة.

2. القوة العددية للمصفوفات:
   عندما نقوم برفع مصفوفة إلى قوة عدد صحيح، فإننا نكرر عملية الضرب في نفس المصفوفة حسب القوة المحددة. لذا، $\mathbf{A}^3$ تعني ضرب المصفوفة $\mathbf{A}$ في نفسها ثلاث مرات.

3. الخصائص الخاصة للمصفوفة الصفرية:
   عند ضرب أي مصفوفة في مصفوفة صفرية، يكون الناتج هو مصفوفة صفرية. أي $\mathbf{A} \cdot \mathbf{0} = \mathbf{0}$.

4. خصائص المصفوفة الوحدة:
   عند ضرب أي مصفوفة في مصفوفة وحدة، يكون الناتج هو المصفوفة نفسها. أي $\mathbf{A} \cdot \mathbf{I} = \mathbf{A}$، حيث $\mathbf{I}$ هي مصفوفة الوحدة.

الآن، لحساب $\mathbf{A}^{95}$، نستخدم الخصائص المذكورة أعلاه. نرى أن $\mathbf{A}^2$ تعطي مصفوفة صفرية، وبناءً على ذلك، كل القوى الزوجية لـ $\mathbf{A}$ ستكون أيضًا صفرية. لذلك، نتوقع أن يكون الناتج $\mathbf{A}^{95}$ هو مصفوفة صفرية.

المسألة الأصلية تعطي مصفوفة:

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}.$

وعندما نقوم برفعها إلى أي قوة فردية، ستظل الناتجة صفرية. لكن هنا يأتي السؤال حول القيمة المجهولة $X$. يظهر أن القيمة $X$ تكون 1 لأن الناتج يحتوي على العنصر $-1$ في الموقع (2,3)، وهو ما يتوافق مع النتيجة المعطاة في السؤال.