حساب قطر قاعدة المخروط بعد التفريغ (مسألة رياضيات)

تملأ دلو أسطواني بارتفاع 36 سم ونصف قطر 21 سم بالرمل. يتم تفريغ الدلو على الأرض ويتكون كوم من الرمل على شكل مخروط، حيث يكون ارتفاع الكوم 12 سم. يتعين حساب نصف قطر القاعدة للكوم الذي تم تشكيله.

للقيام بذلك، يمكننا استخدام المفهوم الهندسي للأجسام الثلاثية الأبعاد. في البداية، نستخدم حجم الأسطوانة لحساب حجم الرمل الذي تم استخدامه. ثم، باستخدام حجم المخروط الناتج بعد تفريغ الدلو، نحسب نصف قطر قاعدة الكوم.

حجم الأسطوانة:
$V_{\text{اسطوانة}} = \pi r_{\text{أسطوانة}}^2 h_{\text{أسطوانة}}$

حيث:
$r_{\text{أسطوانة}}$ هو نصف قطر الأسطوانة (21 سم)
$h_{\text{أسطوانة}}$ هو ارتفاع الأسطوانة (36 سم)

حيث $V_{\text{اسطوانة}}$ هو حجم الأسطوانة.

ثم نستخدم حجم المخروط:
$V_{\text{مخروط}} = \frac{1}{3} \pi r_{\text{مخروط}}^2 h_{\text{مخروط}}$

حيث:
$r_{\text{مخروط}}$ هو نصف قطر القاعدة للمخروط (الذي نريد حسابه)
$h_{\text{مخروط}}$ هو ارتفاع المخروط (12 سم)

حيث $V_{\text{مخروط}}$ هو حجم المخروط.

الآن، نعدل المعادلة لحساب $r_{\text{مخروط}}$:
$r_{\text{مخروط}} = \sqrt[2]{\frac{3 V_{\text{مخروط}}}{\pi h_{\text{مخروط}}}}$

نستخدم حجم الأسطوانة الذي قمنا بحسابه في البداية للحصول على حجم المخروط، ثم نستخدم هذه القيم في المعادلة أعلاه لحساب نصف قطر قاعدة المخروط. يكون الرقم الناتج هو الإجابة على المسألة.

لحل هذه المسألة، سنقوم بالتفصيل في استخدام القوانين الهندسية لحساب حجم الأسطوانة والمخروط، ومن ثم حساب نصف قطر قاعدة المخروط.

الخطوة 1: حساب حجم الأسطوانة

يتم استخدام قانون حجم الأسطوانة، والذي يُمثله المعادلة:

$V_{\text{أسطوانة}} = \pi r_{\text{أسطوانة}}^2 h_{\text{أسطوانة}}$

حيث:
$r_{\text{أسطوانة}}$ هو نصف قطر الأسطوانة (21 سم)
$h_{\text{أسطوانة}}$ هو ارتفاع الأسطوانة (36 سم)

نستخدم هذه المعادلة لحساب حجم الأسطوانة.

الخطوة 2: حساب حجم المخروط بعد تفريغ الدلو

نستخدم القانون الهندسي لحجم المخروط، والذي يُمثله المعادلة:

$V_{\text{مخروط}} = \frac{1}{3} \pi r_{\text{مخروط}}^2 h_{\text{مخروط}}$

حيث:
$r_{\text{مخروط}}$ هو نصف قطر القاعدة للمخروط (الذي نريد حسابه)
$h_{\text{مخروط}}$ هو ارتفاع المخروط (12 سم)

نقوم بحساب حجم المخروط بعد تفريغ الدلو باستخدام المعادلة أعلاه.

الخطوة 3: حساب نصف قطر قاعدة المخروط

نستخدم المعادلة التالية لحساب نصف قطر قاعدة المخروط:

$r_{\text{مخروط}} = \sqrt{\frac{3 V_{\text{مخروط}}}{\pi h_{\text{مخروط}}}}$

نستخدم حجم المخروط الذي قمنا بحسابه في الخطوة الثانية للحصول على قيمة نصف قطر قاعدة المخروط.

القوانين المستخدمة في الحل:

1. حجم الأسطوانة:
   $V_{\text{أسطوانة}} = \pi r_{\text{أسطوانة}}^2 h_{\text{أسطوانة}}$

2. حجم المخروط:
   $V_{\text{مخروط}} = \frac{1}{3} \pi r_{\text{مخروط}}^2 h_{\text{مخروط}}$

3. حساب نصف قطر قاعدة المخروط:
   $r_{\text{مخروط}} = \sqrt{\frac{3 V_{\text{مخروط}}}{\pi h_{\text{مخروط}}}}$

تمثل هذه القوانين الهندسية الأساسية الأدوات التي نحتاجها لحل المسألة.