حساب عدد المنوالين المتعامدة (مسألة رياضيات)

يتم تحديد عشر نقاط متميزة على محيط دائرة. كم عدد المنوالين المتعامدين المختلفة يمكن تكوينها إذا كان كل رأس يجب أن يكون أحد تلك النقاط العشر؟

لنحسب عدد المنوالين المتعامدة التي يمكن تشكيلها باستخدام النقاط المعطاة. من المعروف أن عدد المنوالين المتعامدة التي يمكن تشكيلها بواسطة $n$ نقاط على دائرة هو $\binom{n}{4}$، حيث $\binom{n}{4}$ تمثل الجمعية التكرارية للاختيارات الممكنة لأربع نقاط من بين $n$ نقطة.

إذاً، نحتاج إلى حساب $\binom{10}{4}$ لمعرفة عدد المنوالين المتعامدة التي يمكن تكوينها باستخدام النقاط العشر.

نحسب القيمة:

إذاً، يمكن تكوين 210 منوالين متعامدة مختلفة باستخدام النقاط العشر المعطاة.

لحل المسألة واحتساب عدد المنوالين المتعامدة المختلفة التي يمكن تكوينها باستخدام النقاط المعطاة على محيط الدائرة، نحتاج إلى فهم بعض القوانين والمفاهيم الرياضية:

1. قانون الاختيارات المتكررة (Combinations): هو القانون الذي يُستخدم لحساب عدد الطرق الممكنة لاختيار عدد معين من العناصر من بين مجموعة محددة، دون اعتبار ترتيب هذه العناصر.

2. المنوالين المتعامدة: يتكون المنوالين المتعامدة من أي أربع نقاط على محيط الدائرة تشكل مستطيلًا أو موازيًا رباعي الأضلاع.

الخطوات لحل المسألة:

أولاً، نستخدم قانون الاختيارات المتكررة (الجمعية التكرارية) لحساب عدد المنوالين المتعامدة التي يمكن تشكيلها باستخدام النقاط المعطاة. في هذه المسألة، لدينا 10 نقاط على محيط الدائرة، ونريد اختيار 4 نقاط لتكوين المنوالين.

ثانيًا، نطبق القانون بالتجميع التكراري (الاختيارات المتكررة) كالتالي:
$\binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!}$

حيث:

• $n$ هو عدد النقاط المتاحة على محيط الدائرة (10 في هذه المسألة).
• $r$ هو عدد النقاط التي نريد اختيارها لتكوين المنوالين (4 في هذه المسألة).
• $\binom{n}{r}$ تمثل عدد الطرق الممكنة لاختيار مجموعة مكونة من $r$ عناصر من بين مجموعة مؤلفة من $n$ عنصر.

بعد الحساب، نحصل على قيمة عدد المنوالين المتعامدة المختلفة التي يمكن تكوينها باستخدام النقاط المعطاة على محيط الدائرة.

في هذه الحالة، يمكن تشكيل 210 منوالين متعامدة مختلفة باستخدام النقاط المعطاة على الدائرة.