حساب عدد المضاعفات لـ 2pq

إذا كانت $p$ و $q$ عددين أوليين فرديين، وكان $p < q$، فكم عدد مضاعفات العدد الصحيح الإيجابي $2pq$؟

الحل:

نعلم أن العددين $p$ و $q$ هما أوليين فرديين، ولذلك يمكن كتابتهما على الشكل $p = 2k_1 + 1$ و $q = 2k_2 + 1$ حيث $k_1$ و $k_2$ عددين صحيحين.

الآن، نقوم بحساب $2pq$:

$2pq = 2(2k_1 + 1)(2k_2 + 1)$

نقوم بتوسيع العبارة:

$2pq = 4k_1k_2 + 2k_1 + 2k_2 + 1$

الآن، نلاحظ أن كل عنصر في هذا العدد هو فردي، لأنه يحتوي على مضاعف $2$ وعدد فردي، وبالتالي نستنتج أنه عدد فردي.

الآن، نحسب عدد المضاعفات الإيجابية لـ $2pq$. يمكننا تمثيل $2pq$ كإنتاج لأعداد أولية مرتبطة به:

$2pq = 2 \times (2k_1k_2 + k_1 + k_2)$

العبارة في القوس تمثل عددًا صحيحًا، ولكل عدد أولي يمكن أن يكون مرفوعًا للقوة صفر أو واحد، لذلك يمكننا أن نقول أن لدينا عددين أوليين مختلفين متاحين للضرب في هذا السياق.

بالتالي، عدد المضاعفات الإيجابية لـ $2pq$ هو $2 \times 2 = 4$.

بالطبع، سنقوم بتفصيل الحل أكثر وذلك باستخدام القوانين الرياضية المطبقة في الحسابات.

المسألة تطلب منا حساب عدد المضاعفات الإيجابية للعدد $2pq$ حيث $p$ و $q$ هما عددين أوليين فرديين و $p < q$.

لنبدأ بتمثيل $p$ و $q$ بمعادلات تعبر عن طبيعتهما كأعداد أولية فردية:

$p = 2k_1 + 1$
$q = 2k_2 + 1$

حيث $k_1$ و $k_2$ عددين صحيحين.

الآن، سنحسب $2pq$ باستخدام هذه المعادلات:

$2pq = 2(2k_1 + 1)(2k_2 + 1)$

نقوم بفتح القوسين وتوسيع العبارة:

$2pq = 4k_1k_2 + 2k_1 + 2k_2 + 1$

الخطوة التالية هي ملاحظة أن كل عنصر في هذا العدد هو فردي، لأنه يحتوي على مضاعف $2$ وعدد فردي، وبالتالي يكون الناتج نفسه فردي.

المرحلة الأخيرة هي تقسيم $2pq$ على $2$ للحصول على عدد مضاعفات إيجابية:

$\frac{2pq}{2} = 2k_1k_2 + k_1 + k_2$

هنا يظهر أن العدد الناتج هو فردي، وبالتالي يمكن تمثيله كإنتاج لعددين أوليين فرديين متمثلين في $2k_1k_2$ و $k_1 + k_2$.

باختصار، الحل يعتمد على استخدام قوانين الجبر مثل توسيع القوسين والتحويل بين الأشكال الجبرية للوصول إلى الناتج النهائي.