حساب عدد المثلثات في دوديكاجون (مسألة رياضيات)

عدد المثلثات التي يمكن تشكيلها باستخدام رؤوس مضلع الدوديكاجون النظامي هو 220 مثلثًا.

الحل:
لنقوم بحساب عدد المثلثات التي يمكن تشكيلها باستخدام أطراف مضلع الدوديكاجون. يتم ذلك عن طريق تحديد الثلاث نقاط المختلفة في المضلع وتشكيل المثلثات من خلالها.

1. للحصول على عدد المثلثات، يجب أولاً أن نحدد النقطة الأولى في المضلع، والتي يمكن اختيارها بـ 12 طريقة مختلفة.
2. بعد ذلك، نختار النقطة الثانية في المثلث، والتي يمكن اختيارها بـ 11 طريقة مختلفة (بما أننا لا يمكننا اختيار نفس النقطة مرتين).
3. أخيرًا، نختار النقطة الثالثة في المثلث، والتي يمكن اختيارها بـ 10 طرق مختلفة.

لذلك، عدد المثلثات الممكنة يكون:
$12 \times 11 \times 10 = 1320$

ومع ذلك، يجب علينا أن نقسم هذا العدد على 3، لأن كل مثلث تم حسابه 3 مرات (مرة واحدة لكل زوج من النقاط). لذلك:

$\frac{1320}{3} = 440$

لكن هذا الحساب يحتوي على المثلثات التي تتكرر. على سبيل المثال، المثلث ABC سيتم حسابه مرتين كمثلث ABC وكمثلث BCA وكمثلث CAB. لذلك، نحتاج إلى قسمة الناتج على 3 مرة أخرى:

$\frac{440}{3} = 146.66$

وبما أن العدد لا يمكن أن يكون كسريًا، فإننا نقربه إلى أقرب عدد صحيح، والذي هو 147 مثلثًا.

لحساب عدد المثلثات التي يمكن تشكيلها باستخدام أطراف مضلع الدوديكاجون النظامي، يمكننا استخدام قوانين الجبر والتحليل المجموعاتي. سنقوم بتفصيل الحل كما يلي:

1. تحديد عدد النقاط:
   يتكون مضلع الدوديكاجون من 12 نقطة.

2. اختيار النقاط لتشكيل المثلثات:
   لتشكيل مثلث، نحتاج إلى اختيار 3 نقاط مختلفة من بين النقاط الموجودة في المضلع.

3. حساب عدد المثلثات:
   لحساب عدد المثلثات، نقوم بتحديد كمية الاختيارات الممكنة لكل زوج من النقاط. ويتم ذلك عن طريق استخدام قانون الجمع في العدد الحسابي.

   • لاختيار النقطة الأولى، لدينا 12 خيار.
   • بعد اختيار النقطة الأولى، يبقى لدينا 11 نقطة للاختيار من بينها لتشكيل النقطة الثانية في المثلث.
   • بعد اختيار النقطة الثانية، يبقى لدينا 10 نقاط للاختيار من بينها لتشكيل النقطة الثالثة في المثلث.

   لذلك، يمكن حساب عدد المثلثات على النحو التالي:

   $12 \times 11 \times 10 = 1320$

4. تصحيح الاحتساب:
   ومع ذلك، يجب أن نلاحظ أن كل مثلث تم حسابه 6 مرات، مرة واحدة لكل ترتيب ممكن للنقاط. وهذا يعني أننا قد حسبنا المثلثات بزيادة.

5. قسمة الناتج على 6:
   لتصحيح الاحتساب، نقوم بقسمة الناتج على عدد مرات تكرار كل مثلث، والذي هو 6.

   $\frac{1320}{6} = 220$

   وهذا يعني أن هناك 220 مثلثًا يمكن تشكيلها باستخدام أطراف مضلع الدوديكاجون النظامي.

لذا، تم استخدام قوانين الجمع والقسمة في العدد الحسابي لتحديد عدد المثلثات الممكنة باستخدام أطراف مضلع الدوديكاجون النظامي.