حساب عدد العوامل باستخدام الأسس

إذا كانت $p$ و $q$ أعداد أولية، فكم عدد العوامل التي يحتويها الناتج $p^4 \times q^5$؟

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام قاعدة مهمة في الجبر، وهي أنه إذا كان لدينا تمثيل لعدد صحيح كمضاعف لأعداد أولية مختلفة، يمكننا حساب عدد العوامل عن طريق زيادة الأسس بواحد وضربها جميعًا.

لدينا $p^4 \times q^5$، لذا عدد الأسس الذي يمثلها هو $4 + 5 = 9$. الآن، يمكننا حساب عدد العوامل بزيادة كل من الأسس بواحد وضربها جميعًا.

$(4 + 1) \times (5 + 1) = 5 \times 6 = 30$

إذا كانت $p$ و $q$ هما أعداد أولية، فإن الناتج $p^4 \times q^5$ يحتوي على 30 عاملًا.

لحساب عدد العوامل في الناتج $p^4 \times q^5$، يمكننا استخدام القوانين التي تتعلق بأعداد أولية والتفاضل في الأسس. دعونا نقوم بتفصيل الحل:

1. تفاصيل الحل:

   • لدينا الناتج $p^4 \times q^5$.
   • يمكننا استخدام قاعدة الأسس لجمع الأسس المتشابهة: $p^4 \times q^5 = p^{4+0} \times q^{0+5}$.
   • بموجب القاعدة نضرب الأسس المتشابهة.
   • الناتج النهائي هو $p^4 \times q^5$، وعدد الأسس هو $4+5 = 9$.

2. القوانين المستخدمة:

   • قاعدة الضرب للأسس: $a^m \times a^n = a^{m+n}$
     يستخدم هذا القانون لضرب الأسس عندما يكون الأساس متشابهًا.
   • ضرب الأسس في العدد الكامل:
     عندما يكون الأس مضروبًا في عدد كامل، يجب زيادة كل أس بقيمة العدد الكامل.

3. الحساب النهائي:

   • $p^4 \times q^5$ يتحول إلى $p^{4+0} \times q^{0+5}$ باستخدام قاعدة الضرب للأسس.
   • الآن لدينا أساس واحد هو $p^9 \times q^9$.
   • يمكننا استخدام القاعدة نفسها لحساب عدد العوامل: $(4+1) \times (5+1) = 5 \times 6 = 30$.

باختصار، استخدمنا قوانين الأسس والضرب لتبسيط الناتج وحساب عدد العوامل.