حساب عدد العوامل الزوجية: مثال على $7!$ (مسألة رياضيات)

عدد العوامل الزوجية للعدد $7!$ هو ما نسميه بعدد العوامل الزوجية للعدد. لفهم هذا المفهوم بشكل أفضل، دعونا نبدأ بفحص ماهية العدد $7!$.

$7!$ هو ناتج الضرب التالي: $7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$. لحساب هذا العدد، يمكننا ببساطة ضرب هذه الأعداد معًا.

الآن، لحساب عدد العوامل الزوجية، يجب أن نفكر في الطريقة التي تنتج فيها أعداد زوجية. إذا كنتم تتذكرون، الأعداد الزوجية هي تلك التي يمكن قسمها على 2 بدون باقي. ومن ثم، لاحظ أن الأعداد التي تحتوي على عاملين زوجيين تكون زوجية.

بمعنى آخر، عندما نقوم بتحليل الأعداد في $7!$، نجد أن كل عدد في التسلسل يحتوي على عاملين زوجيين (2 و4)، باستثناء العدد 1. ولكن العدد 1 ليس لديه سوى عامل واحد (نفسه)، وبالتالي لا يعتبر زوجيًا.

لذلك، يمكننا الآن حساب عدد العوامل الزوجية عن طريق جمع عدد الأعداد في $7!$ باستثناء العدد 1. وهذا يعني أن عدد العوامل الزوجية هو 6.

إذاً، عدد العوامل الزوجية للعدد $7!$ هو 6.

لنقم بفحص كيف يمكننا حساب عدد العوامل الزوجية للعدد $7!$ بشكل أكثر تفصيلاً ونستخدم بعض القوانين الرياضية في العملية.

أولاً، لنحسب القيمة الفعلية لـ $7!$:

$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040.$

الآن، لفهم كيف يمكننا حساب عدد العوامل الزوجية، نستخدم مفهوم تحليل العدد إلى عوامله الأولية. نعرف أن الأعداد الزوجية هي تلك التي تحتوي على عامل 2، والتي تكون بشكل عام في صورة $2^n$، حيث $n$ هو عدد صحيح. وبالطبع، يمكن للعدد 2 أن يظهر في العديد من العوامل في تحليل العدد.

لحساب عدد العوامل الزوجية، نستخدم القاعدة التالية: إذا كان لدينا عدد صحيح موجب $N$ وكتبناه كمضاعف للعوامل الأولية بالطريقة التالية:

$N = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times p_3^{a_3} \times \ldots \times p_k^{a_k},$

حيث $p_1, p_2, \ldots, p_k$ هي الأعداد الأولية و $a_1, a_2, \ldots, a_k$ هي الأصوات الصحيحة، ثم عدد العوامل الزوجية لـ $N$ هو:

$2^{a_1 + a_2 + \ldots + a_k}.$

في حالة $7!$، نقوم بتحليل $5040$ إلى عوامله الأولية. يمكن كتابة $5040$ على النحو التالي:

$5040 = 2^4 \times 3^2 \times 5 \times 7.$

بما أن لدينا $2$ بالأس 4 في تحليل $7!$، يمكننا استخدام القاعدة المذكورة أعلاه لحساب عدد العوامل الزوجية:

$2^{4} = 16.$

لدينا 16 عامل زوجي في $7!$، لكن نحن نريد استبعاد العدد 1 لأنه ليس زوجيًا، لذا يصبح عدد العوامل الزوجية هو $16 – 1 = 15$.

القوانين المستخدمة في هذا الحل هي قوانين تحليل العدد إلى عوامله الأولية وقاعدة حساب عدد العوامل الزوجية باستخدام الأسس.