حساب عدد الطرق لاختيار لجنة تنفيذية (مسألة رياضيات)

عدد الطرق لاختيار لجنة تنفيذية مكونة من 4 أشخاص من بين 25 عضوًا يمكن حسابه باستخدام الجمعيات التركيبية، وذلك بواسطة الصيغة التالية:

$\text{عدد الطرق} = \binom{25}{4}$

حيث يُمثل $\binom{n}{r}$ معامل الاختيار من $n$ عنصر بواسطة $r$ عنصر، ويُحسب باستخدام الصيغة التالية:

$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r! (n-r)!}$

حيث $n!$ هو عامل الترتيب أو الفاكتوريال لعدد صحيح $n$، ويُمثل عدد الطرق الممكنة لترتيب عناصر مختلفة.

لذا، لحساب عدد الطرق لاختيار لجنة تنفيذية من 4 أشخاص من بين 25 عضوًا، نقوم بالتالي:

$\binom{25}{4} = \frac{25!}{4! (25-4)!}$

$= \frac{25 \times 24 \times 23 \times 22}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$

$= \frac{303600}{24}$

$= 12650$

لذا، هناك 12650 طريقة مختلفة لاختيار لجنة تنفيذية مكونة من 4 أشخاص من بين 25 عضوًا.

لحل مسألة اختيار لجنة تنفيذية مكونة من 4 أشخاص من بين 25 عضوًا، نحتاج إلى فهم بعض القوانين والمفاهيم الأساسية في الكومبيناتوريات.

1. قانون الاختيار التركيبي (Combination Rule):
   قانون الاختيار التركيبي يحسب عدد الطرق لاختيار مجموعة محددة من العناصر من مجموعة أكبر دون مراعاة ترتيب العناصر المختارة. يُعبر عنه برمز $\binom{n}{r}$ ويُحسب باستخدام الصيغة:
   $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r! (n-r)!}$
   حيث:

   • $n!$ هو الفاكتوريال للعدد $n$ ويُمثل طرق ترتيب $n$ عنصر.
   • $r!$ هو الفاكتوريال للعدد $r$ ويُمثل طرق ترتيب $r$ عنصر.
   • $(n-r)!$ هو الفاكتوريال للعدد $n-r$ ويُمثل العناصر المتبقية بعد اختيار $r$ عنصر.

2. الفاكتوريال (Factorial):
   الفاكتوريال لعدد صحيح $n$، مُعبر عنه برمز $n!$، هو عبارة عن حاصل ضرب كل الأعداد الصحيحة الموجودة بين 1 و $n$، بما في ذلك العدد $n$ نفسه. مثلاً، $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

بالنظر إلى المسألة، نريد اختيار لجنة تنفيذية مكونة من 4 أشخاص من بين 25 عضوًا. يمكننا استخدام قانون الاختيار التركيبي لحساب عدد الطرق الممكنة لهذا الاختيار.

بموجب القانون، نحسب:

$\binom{25}{4} = \frac{25!}{4! (25-4)!}$

$= \frac{25 \times 24 \times 23 \times 22}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$

$= \frac{303600}{24}$

$= 12650$

لذا، هناك 12650 طريقة مختلفة لاختيار لجنة تنفيذية مكونة من 4 أشخاص من بين 25 عضوًا، حيث تستخدم كل من القوانين المذكورة أعلاه في الحسابات.