حساب عدد الطرق لاختيار عنصر واحد من مجموعة من 1293 عنصر (مسألة رياضيات)

قيمة $\dbinom{1293}{1}$ تعني عدد الطرق التي يمكن بها اختيار عنصر واحد من مجموعة تحتوي على 1293 عنصر. يمكن تعبير هذه القيمة بالصيغة الآتية:
$\dbinom{1293}{1} = \frac{1293!}{1!(1293-1)!}$

لحساب قيمة هذه المسألة، نستخدم الصيغة العامة لمعامل الاختيار الثنائي، حيث $n!$ تعبر عن عامل التسلسل للعدد $n$. ويُمثل الرمز $(n)$ العدد الكامل للعناصر المراد اختيارها، و$(r)$ يشير إلى عدد العناصر التي يتم اختيارها. في هذه الحالة، $(n)$ هو 1293 و$(r)$ هو 1.

بعد استبدال القيم في الصيغة، نحسب العوامل التالية:
$\dbinom{1293}{1} = \frac{1293!}{1!(1293-1)!}$
$= \frac{1293!}{1! \times 1292!}$
$= \frac{1293 \times 1292!}{1 \times 1292!}$
$= 1293$

وبالتالي، قيمة $\dbinom{1293}{1}$ هي 1293.

لحساب قيمة $\dbinom{1293}{1}$، نحتاج إلى فهم مفهوم الاختيارات المتاحة وقوانين الجمع والضرب في العد القطعي والمعاملات الثنائية.

1. قوانين المعاملات الثنائية (المثلث بينوميال):
   قاعدة بينوميال (أو المثلث البينوميال) تعبر عن توسيع قوانين الجمع والضرب إلى مجموعات كبيرة وأعداد غير محدودة. القاعدة تقول إنه يمكن استخدامها لحساب عدد الطرق التي يمكن فيها اختيار عدد معين من العناصر من مجموعة محددة.

2. القانون العام لمعاملات الاختيار الثنائي:
   القانون العام لمعاملات الاختيار الثنائي يقول إنه يمكن حساب عدد الطرق لاختيار $(r)$ عناصر من مجموعة تحتوي على $(n)$ عنصر بواسطة الصيغة:
   $\dbinom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

3. تطبيق القوانين على المسألة:
   في هذه المسألة، لدينا مجموعة تحتوي على 1293 عنصر، ونريد اختيار عنصر واحد فقط $(r=1)$ من هذه المجموعة. نطبق الصيغة كالتالي:
   $\dbinom{1293}{1} = \frac{1293!}{1!(1293-1)!}$

   حيث:

   • $n = 1293$ هو عدد العناصر الكلي في المجموعة.
   • $r = 1$ هو عدد العناصر التي نريد اختيارها.

   بعد الاستبدال والتبسيط، نحصل على:
   $\dbinom{1293}{1} = \frac{1293!}{1! \times 1292!} = \frac{1293 \times 1292!}{1 \times 1292!} = 1293$

   وهذا يعني أن هناك 1293 طريقة ممكنة لاختيار عنصر واحد من مجموعة تحتوي على 1293 عنصر.