حساب عدد الطرق في اختيار المرشحين

يعتزم جامعة معينة اختيار أحد 6 مرشحين مؤهلين لشغل وظيفة في قسم الرياضيات واثنين من بين 9 مرشحين مؤهلين لشغل وظيفتين متطابقتين في قسم علوم الحاسوب. في حال عدم تأهيل أي من المرشحين للعمل في القسمين، كم عدد مجموعات المرشحين المختلفة التي يمكن تكوينها لشغل الوظائف الثلاث؟

حسنًا، لنقم بحساب عدد الطرق المختلفة لاختيار مجموعة من المرشحين. بما أن كل وظيفة تمثل اختيارًا مستقلًا، يمكننا ضرب عدد الاختيارات الممكنة لكل وظيفة معًا للحصول على إجمالي الاختيارات.

للوظيفة في قسم الرياضيات، لدينا 6 مرشحين، ونحن نحتاج إلى اختيار واحد من بينهم. لذا، هناك 6 طرق لاختيار مرشح لهذه الوظيفة.

بالنسبة لوظائف قسم علوم الحاسوب، لدينا 9 مرشحين ونحن بحاجة إلى اختيار اثنين من بينهم. هنا، يمكننا استخدام صيغة الاختيار المتكامل، والتي تكون:

$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

حيث $n$ هو إجمالي عدد المرشحين، و $k$ هو عدد الوظائف التي نحتاج إلى شغلها. إذاً، في حالتنا:

$C(9, 2) = \frac{9!}{2!(9-2)!}$

الآن، نضرب نتائج اختيار الوظيفة في قسم الرياضيات مع اختيار الوظائف في قسم علوم الحاسوب:

$6 \times C(9, 2)$

لحساب هذا بشكل أكثر تفصيلًا:

$6 \times \frac{9!}{2!(9-2)!} = 6 \times \frac{9!}{2! \times 7!}$

الآن، يمكننا تبسيط القيم:

$6 \times \frac{9 \times 8}{2} = 6 \times 36 = 216$

إذاً، هناك 216 طريقة مختلفة لاختيار مجموعة من المرشحين لشغل الوظائف الثلاث.

بالتأكيد، سنقوم بفحص هذه المسألة بمزيد من التفصيل باستخدام قوانين الاحتمالات والتوجيهات التي تنطبق في هذا السياق.

أولاً وقبل الشروع في الحل، لنتأكد من الفهم الصحيح للمسألة. لدينا وظيفة في قسم الرياضيات حيث يجب اختيار مرشح واحد من بين 6 مرشحين، ولدينا أيضًا وظيفتين في قسم علوم الحاسوب حيث يجب اختيار اثنين من بين 9 مرشحين. الشرط هو أنه لا يمكن لأي مرشح أن يشغل وظيفة في كل من الأقسام.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مبدأ الضرب في الاحتمالات. وفقًا لهذا المبدأ، يمكننا حساب عدد الطرق المختلفة لحدوث أحداث مستقلة عند ضرب عدد الطرق لكل حدث.

1. اختيار المرشح في قسم الرياضيات:
   يوجد 6 مرشحين، وعلينا اختيار واحد من بينهم. لذا، هناك 6 طرق لاختيار المرشح في هذا القسم.

2. اختيار المرشحين في قسم علوم الحاسوب:
   يوجد 9 مرشحين، وعلينا اختيار اثنين من بينهم. ولكن نظرًا لأن الاختيارات مستقلة ولا يمكن لأي مرشح أن يختار لكلتا الوظيفتين، يمكننا استخدام صيغة الاختيار المتكامل:
   $C(9, 2) = \frac{9!}{2!(9-2)!}$

   حيث $C(n, k)$ هي صيغة الاختيار.

3. استخدام مبدأ الضرب:
   لحساب إجمالي عدد الطرق المختلفة، نقوم بضرب عدد الطرق لكل حدث مستقل:
   $6 \times C(9, 2)$

   الآن نقوم بحساب هذه القيمة:

   $6 \times \frac{9!}{2! \times 7!} = 6 \times \frac{9 \times 8}{2} = 6 \times 36 = 216$

قوانين الاحتمالات المستخدمة:

• مبدأ الضرب: يُستخدم لحساب عدد الطرق المختلفة لحدوث مجموعة من الأحداث المستقلة.
• صيغة الاختيار المتكامل: تُستخدم لحساب عدد الطرق لاختيار مجموعة معينة من العناصر من بين مجموعة أكبر.