حساب عدد الطرق الأمثل: مبدأ الجمع (مسألة رياضيات)

عدد الطرق الممكنة للوصول من النقطة A إلى النقطة B في الشبكة المقدمة يمكن حسابه باستخدام مبدأ الجمع في العد. للقيام بذلك، نبدأ من النقطة A ونتقدم نحو النقطة B، وفي كل خطوة يمكننا اتخاذ اتجاهين فقط: صعودًا (up) أو يمينًا (right).

لنفترض أن عدد الأعمدة في الشبكة هو $w$ وعدد الصفوف هو $h$، حيث في هذه الحالة عدد الطرق الممكنة يكون مجموع الخطوات التي يجب أداؤها للوصول من A إلى B. ولأننا نستخدم فقط خطوتين ممكنتين (up أو right) في كل خطوة، يمكننا الكتابة التالية:

حيث $\binom{n}{r}$ هو عبارة عن الطريقة التي يمكن بها اختيار $r$ عنصرًا من بين مجموعة مكونة من $n$ عنصر. في حالتنا، عدد الطرق يكون عبارة عن اختيار $w-1$ اتجاهًا من بين مجموع $w+h-2$ اتجاهًا.

باستخدام هذه الصيغة، يمكننا حساب عدد الطرق الممكنة للوصول من A إلى B في الشبكة المقدمة.

لنقوم بفهم المسألة وحساب عدد الطرق الممكنة للوصول من النقطة A إلى النقطة B في الشبكة المقدمة، نحتاج إلى استخدام مبدأ الجمع وقاعدة الجمع الرياضية.

المبدأ الرئيسي المستخدم هو مبدأ الجمع، والذي ينص على أنه إذا كان هناك عدة طرق لتحقيق هدف، فيمكننا جمع عدد الطرق للوصول إلى كل هدف جزئي. في هذه الحالة، هدفنا هو الوصول من A إلى B.

لنقم بتفصيل الحل:

1. تمثيل الشبكة:
   لدينا شبكة من الخطوات الرأسية (up) والخطوات الأفقية (right). نقوم بتمثيلها بشكل مبسط حيث يكون لدينا $w$ عدد من الالتفافات يمينًا و $h$ عدد من الالتفافات صعودًا.

2. استخدام قاعدة الجمع:
   في كل خطوة، يمكننا اتخاذ اتجاهين فقط، إما الصعود (up) أو الذهاب يمينًا (right). لذا، عدد الطرق للوصول من أي نقطة في الشبكة إلى النقطة A يكون مجموع عدد الطرق للوصول إلى النقاط السابقة على المسار.

3. استخدام قاعدة الجمع الرياضية:
   لحساب عدد الطرق، نستخدم صيغة الجمع الرياضي. في هذه الحالة، نحسب عدد الطرق باستخدام معامل الاختيار (التصنيف) المعروف أيضًا بصيغة الجمع الرياضي.

   $$\text{عدد الطرق} = \binom{w+h-2}{w-1}$$

   حيث $\binom{n}{r}$ هو معامل الاختيار، وهو يمثل عدد الطرق التي يمكن اتخاذها من بين $n$ عنصرًا باختيار $r$ عنصرًا في كل مرة.

باستخدام هذه القوانين والمفاهيم، يمكننا حساب عدد الطرق الممكنة للوصول من A إلى B في الشبكة المعطاة.