حساب عدد الترتيبات بشرط رياضي (مسألة رياضيات)

نريد إيجاد عدد الترتيبات $(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6)$ للمجموعة $(1, 2, 3, 4, 5, 6)$ بحيث تتوافق مع الشرط التالي:
$\frac{a_1 + 1}{2} \cdot \frac{a_2 + 2}{2} \cdot \frac{a_3 + 3}{2} \cdot \frac{a_4 + 4}{2} \cdot \frac{a_5 + 5}{2} \cdot \frac{a_6 + 6}{2} > X$

ونعلم أن عدد الحالات التي تحقق هذا الشرط هو 719. نريد العثور على قيمة المتغير المجهول X.

لحساب عدد الترتيبات الممكنة، نستخدم فكرة ضرب الطرق. يمكننا اختيار قيمة للمتغير $a_1$ بستة طرق مختلفة، ثم نختار $a_2$ من الأرقام المتبقية بخمس طرق، وهكذا.

إذاً، عدد الترتيبات الممكنة هو:
$6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

الآن، لحساب قيمة المتغير المجهول X، نقسم عدد الحالات التي تحقق الشرط على إجمالي عدد الترتيبات الممكنة:
$X = \frac{719}{720}$

وبما أن هذه القيمة صعبة للتحقق منها بسهولة، يمكننا تبسيطها عبر إلغاء العامل المشترك 719 في البسط والمقام:
$X = \frac{719}{720} = \frac{719 \div 719}{720 \div 719} = \frac{1}{\frac{720}{719}}$

وبهذا يكون لدينا:
$X = \frac{1}{1 + \frac{1}{719}}$

إذاً، قيمة المتغير المجهول X هي:
$X = \frac{1}{1 + \frac{1}{719}}$

لنقم بحل المسألة بشكل أكثر تفصيلاً ونتناول القوانين والخطوات المستخدمة في الحل.

المسألة:
نريد إيجاد عدد الترتيبات $(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6)$ للمجموعة $(1, 2, 3, 4, 5, 6)$ بحيث تتوافق مع الشرط التالي:
$\frac{a_1 + 1}{2} \cdot \frac{a_2 + 2}{2} \cdot \frac{a_3 + 3}{2} \cdot \frac{a_4 + 4}{2} \cdot \frac{a_5 + 5}{2} \cdot \frac{a_6 + 6}{2} > X$

حيث عدد الحالات التي تحقق هذا الشرط هو 719.

الحل:

1. عدد الترتيبات الممكنة:

   • نستخدم قاعدة ضرب الطرق لحساب عدد الترتيبات الممكنة.
   • لدينا 6 أرقام مختلفة لتعبئة المتغيرات $a_1$ إلى $a_6$.
   • عدد الترتيبات الممكنة هو $6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$.

2. حساب قيمة المتغير المجهول X:

   • نقسم عدد الحالات التي تحقق الشرط على إجمالي عدد الترتيبات الممكنة:
     $X = \frac{719}{720}$

3. تبسيط قيمة المتغير X:

   • نقوم بتبسيط الكسر عبر إلغاء العامل المشترك 719 في البسط والمقام.
     $X = \frac{1}{\frac{720}{719}}$

4. تبسيط إضافي:

   • نستمر في تبسيط الكسر عبر إدخال العدد 1 بشكل ذكي.
     $X = \frac{1}{1 + \frac{1}{719}}$

القوانين المستخدمة:

1. ضرب الطرق (Permutation):

   • لحساب عدد الترتيبات الممكنة لمجموعة من العناصر.

2. القسمة:

   • لحساب نسبة الحالات التي تحقق الشرط إلى إجمالي عدد الترتيبات.

3. تبسيط الكسور:

   • لجعل الحسابات أكثر سهولة ووضوحًا.

4. استخدام العدد 1:

   • لتسهيل عمليات التبسيط وجعلها أكثر فهمًا.

باستخدام هذه القوانين، تم حل المسألة والعثور على قيمة المتغير المجهول X.