حساب عدد الأوراق بقيمة 2 في الحقيبة (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
إذا كانت القيمة المتوقعة لسحب عشوائي لورقة من حقيبة تحتوي على 12 ورقة هي 3.25 دولار، وبعض الأوراق تحمل القيمة 2 والبقية تحمل القيمة 7، فكم عدد الأوراق في الحقيبة التي تحمل القيمة 2؟

الحل:
لنقم بتمثيل العدد الذي نبحث عنه بـ “س”. يمكننا استخدام المعلومات المتاحة حول القيمة المتوقعة لحساب قيمة “س”. القيمة المتوقعة (E) تُحسب باستخدام العلاقة:

$E = \frac{{\text{{قيمة1}} \times \text{{عدد1}} + \text{{قيمة2}} \times \text{{عدد2}} + \ldots}}{{\text{{إجمالي عدد الأوراق}}}}$

في هذه الحالة:

$3.25 = \frac{{2 \times (\text{{عدد الأوراق ذات القيمة 2}}) + 7 \times (\text{{عدد الأوراق ذات القيمة 7}})}}{{12}}$

نقوم بضرب كل جانب في 12 لتخلصنا من المقام:

$39 = 2 \times (\text{{عدد الأوراق ذات القيمة 2}}) + 7 \times (\text{{عدد الأوراق ذات القيمة 7}})$

الآن نستخدم الجبر لحل المعادلة وإيجاد قيمة “س”، والتي تمثل عدد الأوراق ذات القيمة 2. قد نقوم بطرح قيمة “س” من الجهة اليمنى ونقسم على 2:

$39 – 7 \times (\text{{عدد الأوراق ذات القيمة 7}}) = 2 \times (\text{{عدد الأوراق ذات القيمة 2}})$

ثم نقسم على 2:

$\frac{{39 – 7 \times (\text{{عدد الأوراق ذات القيمة 7}})}}{2} = \text{{عدد الأوراق ذات القيمة 2}}$

الآن يمكننا حساب القيمة بوضع قيمة “عدد الأوراق ذات القيمة 7” بدلاً من “عدد الأوراق ذات القيمة 7”. إذا كنت بحاجة إلى مساعدة إضافية في هذا الحل، فلا تتردد في طلبها.

بالطبع، سنقوم بتفصيل الحل أكثر وسنشير إلى القوانين والعمليات الحسابية المستخدمة في هذه المسألة.

لحساب عدد الأوراق ذات القيمة 2، نبدأ بتمثيل هذا العدد بـ “س”. الهدف هو استخدام المعلومات المتاحة حول القيمة المتوقعة للعثور على قيمة “س”. نستخدم القانون الخاص بالقيمة المتوقعة:

$E = \frac{{\text{{قيمة1}} \times \text{{عدد1}} + \text{{قيمة2}} \times \text{{عدد2}} + \ldots}}{{\text{{إجمالي عدد الأوراق}}}}$

في هذه الحالة، قيمة المتوقعة هي $3.25$، وعدد الأوراق هو 12، ولدينا قيمتين: 2 و 7. لذا، نحصل على المعادلة التالية:

$3.25 = \frac{{2 \times س + 7 \times (12 – س)}}{{12}}$

نقوم بحل المعادلة الآن:

$3.25 = \frac{{2س + 84 – 7س}}{{12}}$

نقوم بضرب كل جانب في 12 للتخلص من المقام:

$39 = 2س + 84 – 7س$

نجمع معاملات “س” في الجهة اليسرى:

$39 = -5س + 84$

نطرح 84 من الجهة اليمنى:

$-45 = -5س$

نقسم على -5 للحصول على قيمة “س”:

$س = 9$

إذاً، عدد الأوراق ذات القيمة 2 هو 9.

القوانين والعمليات المستخدمة:

1. قانون القيمة المتوقعة (Expected Value): تمثل القيمة المتوقعة متوسط القيم الممكنة، وتُحسب بقسمة مجموع حاصل ضرب كل قيمة في عدد مرات حدوثها على إجمالي العدد.

2. الجبر والتفاعل مع المعادلات: استخدمنا عمليات الجمع والطرح والضرب والقسم لحل المعادلة والوصول إلى قيمة “س”.

3. التنقيح الرياضي: استخدمنا التنقيح الرياضي لتبسيط المعادلة والحصول على قيمة “س” بشكل أسرع.

باختصار، تم استخدام قوانين الرياضيات الأساسية والجبر لتحليل المعلومات المتاحة والعثور على القيمة المطلوبة.