حساب عدد الأوراق بالرقم 2: مسألة القيمة المتوقعة (مسألة رياضيات)

يوجد لدينا كيس يحتوي على 12 ورقة، بعض الأوراق منها تحمل الرقم 2 والبقية تحمل الرقم 7. إذا كان القيمة المتوقعة للرقم المعروض على الورقة المختارة عشوائياً من الكيس هي 3.25، فكم عدد الأوراق التي تحمل الرقم 2؟

لنقم بتعريف المتغيرات:
دع $x$ يمثل عدد الأوراق التي تحمل الرقم 2.
وبالتالي، عدد الأوراق التي تحمل الرقم 7 سيكون $12 – x$.

نريد حساب القيمة المتوقعة للرقم المعروض. للقيام بذلك، نضرب قيمة كل رقم في احتمال ظهوره ثم نجمع الناتجين. لذا، القيمة المتوقعة ستكون:
$E = \left( \frac{x}{12} \times 2 \right) + \left( \frac{12 – x}{12} \times 7 \right)$

وهي تساوي 3.25 وفقاً للبيانات المعطاة.

الآن، يمكننا حل المعادلة للعثور على قيمة $x$ المطلوبة.

$3.25 = \left( \frac{x}{12} \times 2 \right) + \left( \frac{12 – x}{12} \times 7 \right)$

نقوم بتوحيد المعادلة وحساب المعادلات:
$3.25 = \left( \frac{2x}{12} \right) + \left( \frac{84 – 7x}{12} \right)$
$3.25 = \left( \frac{2x + 84 – 7x}{12} \right)$
$3.25 = \left( \frac{84 – 5x}{12} \right)$
$3.25 \times 12 = 84 – 5x$
$39 = 84 – 5x$
$5x = 84 – 39$
$5x = 45$
$x = \frac{45}{5}$
$x = 9$

إذاً، عدد الأوراق التي تحمل الرقم 2 هو 9.

في هذه المسألة، نحاول حساب عدد الأوراق التي تحمل الرقم 2 في الكيس، وذلك باستخدام مفهوم القيمة المتوقعة والقوانين الأساسية للإحتمالات.

لحل المسألة، لنستخدم القوانين التالية:

1. قانون الإحتمالات:

   • يُمثِّل الإحتمال الذي يُرمز له بـ $P(A)$ فرصة حدوث حدث معين.
   • إذا كان لدينا $n$ نتائج ممكنة متجانسة، وكان لحدث محدد $A$ عدد $m$ من هذه النتائج، فإن احتمال حدوث الحدث $A$ هو $P(A) = \frac{m}{n}$.

2. القيمة المتوقعة:

   • القيمة المتوقعة $E$ لمتغير عشوائي هي مجموع ضرب القيم المحتملة بالاحتمالات المقابلة لها.
   • إذا كان لدينا متغير عشوائي $X$ يأخذ قيم $x_1, x_2, …, x_n$ بالاحتمالات $P(X=x_1), P(X=x_2), …, P(X=x_n)$ على التوالي، فإن القيمة المتوقعة تُعبَّر عنها بالصيغة التالية:
     $E(X) = x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P(X=x_2) + … + x_n \cdot P(X=x_n)$

الآن، دعونا نطبق هذه القوانين على المسألة:

لنفترض أن عدد الأوراق التي تحمل الرقم 2 في الكيس هو $x$.
عدد الأوراق التي تحمل الرقم 7 سيكون $12 – x$، لأن مجموع عدد الأوراق في الكيس هو 12.

بما أن الأوراق تختار عشوائيًا، فإن القيمة المتوقعة للرقم المعروض على الورقة المختارة هي 3.25. وهذا يعني أننا نريد حساب قيمة $x$ التي تجعل القيمة المتوقعة تساوي 3.25.

نستخدم القيمة المتوقعة لحسابها:
$E = \left( \frac{x}{12} \times 2 \right) + \left( \frac{12 – x}{12} \times 7 \right)$

ونعلم أن $E = 3.25$.

نحل المعادلة:
$3.25 = \left( \frac{x}{12} \times 2 \right) + \left( \frac{12 – x}{12} \times 7 \right)$

ومن خلال حل المعادلة، نجد قيمة $x$ التي تمثل عدد الأوراق التي تحمل الرقم 2.

باختصار، استخدمنا الإحتمالات والقيم المتوقعة لحساب عدد الأوراق التي تحمل الرقم 2 في الكيس.