حساب عدد الأعوامل الأولية للعدد 400 (مسألة رياضيات)

من المعروف أن عدد $400$ هو عبارة عن المنتج الضربي للأعداد $2^4$ و$5^2$. لحساب مجموع العوامل الإيجابية للعدد $400$، يمكننا استخدام القاعدة التالية:

إذا كان العدد $N$ هو عبارة عن المنتج الضربي لأعداد أولية مختلفة مثل $N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}$، فإن مجموع العوامل الإيجابية له يمكن حسابه بواسطة الصيغة التالية:

لحساب عدد العوامل الأولية المختلفة لمجموع العوامل الإيجابية لعدد معين، يمكننا استخدام القوانين التالية:

1. تفكيك العدد إلى أعداده الأولية:
   إذا كان العدد $N$ عبارة عن المنتج الضربي لأعداد أولية مختلفة، يمكن تمثيله كالتالي:
   $N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}$
   حيث $p_1, p_2, \ldots, p_k$ هي الأعداد الأولية المختلفة، و $a_1, a_2, \ldots, a_k$ هي الأسس المترافقة لكل عامل أولي.

2. حساب مجموع العوامل:
   مجموع العوامل الإيجابية للعدد $N$ يمكن حسابه باستخدام الصيغة:
   $\text{Sum of divisors} = (1 + p_1 + p_1^2 + \ldots + p_1^{a_1}) \cdot (1 + p_2 + p_2^2 + \ldots + p_k^{a_k})$

3. التقليل الجبري:
   يمكن تقليل الصيغة باستخدام القوانين الجبرية لتسهيل الحساب. في هذا السياق، تم استخدام القاعدة الجبرية:
   $(1 + x + x^2 + \ldots + x^n) = \frac{x^{n+1} – 1}{x – 1}$

حسب المعطيات في المسألة:

$400 = 2^4 \cdot 5^2$

نقوم بحساب مجموع العوامل باستخدام القوانين المذكورة:

$\text{Sum of divisors} = (1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4) \cdot (1 + 5 + 5^2)$

نقوم بتبسيط هذا التعبير باستخدام القاعدة الجبرية:

$= \frac{2^5 – 1}{2 – 1} \cdot \frac{5^3 – 1}{5 – 1}$

$= 31 \cdot 31$

$= 961$

بالتالي، نستنتج أن عدد العوامل الأولية المختلفة لمجموع العوامل الإيجابية للعدد $400$ هو $1$.