حساب عدد الأعداد mod 9 (مسألة رياضيات)

كم عدد الأعداد الصحيحة الإيجابية الصغيرة الأقل من 200 التي تتناسب مع 1 (mod 9)؟

لنبدأ بفهم ماذا يعني 1 (mod 9). عندما نقول أن العدد $a$ متناسب مع 1 (mod 9)، فإننا نقصد أنه عند قسمة $a$ على 9، يكون لدينا باقي قيمته 1.

لحل هذه المسألة، يجب أن نحدد أولاً مجموعة الأعداد الصغيرة الإيجابية التي نريد البحث فيها، وهي الأعداد الصحيحة من 1 إلى 200.

ثم، نريد أن نحدد كم عدد يقع في هذه المجموعة يتناسب مع 1 (mod 9).

لحساب ذلك، نبدأ بفهم تسلسل الأعداد التي تتناسب مع 1 (mod 9). يمكننا أن نلاحظ أن هذه الأعداد هي: 1، 10، 19، 28، … وهكذا.

الآن، لحساب عددها في النطاق من 1 إلى 200، نقوم بحساب العدد الكامل للأعداد التي تتناسب مع 1 (mod 9) في الفترات الكاملة للأعداد 9، وهي الفترات 9 و 18 و 27 وهكذا.

نلاحظ أن كل فترة من هذه الفترات تحتوي على تسعة أعداد تتناسب مع 1 (mod 9). لذا، يمكننا أن نقسم 200 على 9 لمعرفة كم فترة كاملة من الأعداد 9 في الفترات كاملة:

$\frac{200}{9} = 22.222…$

هنا نستخدم القسمة على الأعداد الصحيحة. لذا، يمكننا أن نأخذ الجزء الصحيح من هذا الناتج، وهو 22.

لكن، يجب أن نتذكر أننا قد تجاوزنا قيمة 200 قليلاً. لذا، نحتاج إلى إزالة الأعداد الزائدة بعد أن قسمنا 200 على 9.

فإذا كان لدينا 22 فترة كاملة، فإن عدد الأعداد الكاملة التي تتناسب مع 1 (mod 9) هو $22 \times 9 = 198$.

الآن، لا يزال لدينا بعض الأعداد المتبقية بعد الفترات الكاملة. تلك الأعداد هي: 199 و 200.

ومن الواضح أن 199 تتناسب مع 1 (mod 9) بينما 200 لا تفعل ذلك.

لذا، العدد الإجمالي للأعداد التي تتناسب مع 1 (mod 9) والتي هي أقل من 200 هو $198 + 1 = 199$.

إجمالاً، هناك 199 من الأعداد الصحيحة الإيجابية الصغيرة أقل من 200 التي تتناسب مع 1 (mod 9).

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى فهم بعض القوانين الأساسية في الجبر وحساب المودولو. القوانين التي سنستخدمها هي:

1. قانون القسمة: يقول إنه إذا قسمت عددًا على عدد آخر، فإن الناتج يمكن أن يكون موجبًا أو سالبًا، مع باقي يكون أقل من العدد الذي تم قسمته.
2. مفهوم المتبقي (الباقي): عندما نقسم عددًا على عدد آخر، الباقي هو العدد الذي يتبقى بعد القسمة.
3. قانون التناسب (Congruence): يقول إن الأعداد $a$ و $b$ يعتبران متناسبين إذا كان الفارق بينهما يقسم على عدد آخر دون باقي.

الآن، لحل المسألة، نريد أن نعرف كم من الأعداد الصحيحة الإيجابية من بين الأعداد الصغيرة الأقل من 200 تتناسب مع 1 (mod 9).

نعرف أن الأعداد التي تتناسب مع 1 (mod 9) هي تسلسل متكرر ويتضمن: 1، 10، 19، 28، … إلخ.

لنحسب كم فترة كاملة من الأعداد 9 تحتوي على أعداد تتناسب مع 1 (mod 9). هذا يعني أن كل 9 أعداد يعتبرون متناسبين مع 1 (mod 9). لذا، نحتاج إلى معرفة كم مضاعفات للـ 9 تتناسب مع 1 (mod 9) في الفترة من 1 إلى 200.

نقسم 200 على 9 لمعرفة كم فترة كاملة من الأعداد 9 في الفترات الكاملة. الناتج هو 22 والباقي هو 2. لكننا لا نأخذ الباقي لأنها لا تشكل فترة كاملة.

لذا، هناك 22 فترة كاملة، وكل فترة تحتوي على 9 أعداد متناسبة مع 1 (mod 9). لذا، العدد الإجمالي للأعداد في هذه الفترات هو $22 \times 9 = 198$.

وبعد ذلك، هناك العددين 199 و 200. 199 يتناسب مع 1 (mod 9) بينما 200 لا يفعل.

لذا، الإجمالي النهائي للأعداد التي تتناسب مع 1 (mod 9) والتي هي أقل من 200 هو $198 + 1 = 199$.

إذاً، هناك 199 من الأعداد الصحيحة الإيجابية الصغيرة أقل من 200 التي تتناسب مع 1 (mod 9).