حساب عدد الأعداد الأولية في تسلسل رياضي (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
لدينا تسلسل من $58$ مصطلحًا؛ حيث يكون كل مصطلح على شكل $P+n$ حيث $P$ هو حاصل ضرب جميع الأعداد الأولية حتى $61$، و$n$ يأخذ التباين التالي: $2, 3, 4, …, 59$. نريد معرفة عدد الأعداد الأولية في هذا التسلسل، ونسميها $N$.

الحل:
لحساب $P$، نقوم بضرب جميع الأعداد الأولية حتى $61$، وهي $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59$.

$P = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13 \times 17 \times 19 \times 23 \times 29 \times 31 \times 37 \times 41 \times 43 \times 47 \times 53 \times 59$

الآن، لحساب عدد الأعداد الأولية في التسلسل، نقوم بفحص كل مصطلح $P+n$ ونرى إذا كان $P+n$ أيضًا عددًا أوليًا. لكي يكون $P+n$ عددًا أوليًا، يجب أن لا يكون $n$ يقبل القسمة على أي عدد أولي أقل من أو يساوي $\sqrt{P+n}$.

نقوم بحساب $P+n$ للتباين $n=2,3,…,59$ ونراجع هل يكون كل $P+n$ عددًا أوليًا أم لا. نعتبر عدد الأعداد الأولية الموجودة في التسلسل ونسميه $N$.

النتائج:
نحسب $P$ باستخدام الضرب التسلسلي للأعداد الأولية حتى $61$.

$P = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13 \times 17 \times 19 \times 23 \times 29 \times 31 \times 37 \times 41 \times 43 \times 47 \times 53 \times 59$

ثم نقوم بفحص التسلسل $P+n$ للقيم $n=2,3,…,59$ لمعرفة عدد الأعداد الأولية في التسلسل. يتم حساب $N$، وهو الإجابة التي نبحث عنها.

تظهر النتائج في النهاية أن $N$ هو العدد المطلوب الذي يمثل عدد الأعداد الأولية في التسلسل المعطى.

لحل هذه المسألة، سنقوم بخطوات تفصيلية واستخدام قوانين العدد الأولي والعمليات الحسابية.

الخطوة 1: حساب الحاصل التكاملي P
نقوم بحساب الحاصل التكاملي P الذي يتمثل في ضرب جميع الأعداد الأولية حتى العدد 61. نستخدم القانون الأساسي للضرب ونقوم بضرب الأعداد التالية:
$P = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13 \times 17 \times 19 \times 23 \times 29 \times 31 \times 37 \times 41 \times 43 \times 47 \times 53 \times 59$

الخطوة 2: تحليل التسلسل P+n
نقوم بتحليل التسلسل P+n حيث n يتغير من 2 إلى 59. لنحدد عدد الأعداد الأولية في هذا التسلسل، نستخدم قانون الأعداد الأولية الذي ينص على أن عددًا أوليًا هو العدد الذي لا يمكن قسمه على أي عدد آخر سوى 1 ونفسه.

الخطوة 3: تحديد الأعداد الأولية في التسلسل
نقوم بحساب قيم P+n للتباين n=2,3,…,59 ونتحقق مما إذا كانت هذه القيم هي أعداد أولية أم لا باستخدام قانون الأعداد الأولية.

الخطوة 4: حساب عدد الأعداد الأولية N
نحسب عدد الأعداد الأولية N في التسلسل الناتج.

القوانين المستخدمة:

1. قانون الضرب: القاعدة الأساسية للضرب تُستخدم لحساب الحاصل التكاملي P.
2. قانون الأعداد الأولية: يتم استخدام للتحقق مما إذا كان P+n عددًا أوليًا أم لا.
3. قانون القسمة: لتحديد ما إذا كان عددٌ ما عددًا أوليًا، نقوم بفحص قابليته للقسمة على أي عدد أولي.

الخطوات المذكورة أعلاه توضح العملية التفصيلية لحل المسألة والقوانين المستخدمة في كل خطوة.