حساب عدد الآلات للإنتاج الفعّال (مسألة رياضيات)

خمس آلات من نوع معين، تعمل بتزامن وبشكل مستقل بسرعة ثابتة متطابقة، يمكنها إنتاج إجمالي قدره x وحدة من المنتج P في 4 أيام. السؤال: كم آلة، تعمل بنفس السرعة والاستقلال، يمكنها إنتاج إجمالي قدره 2x وحدة من المنتج P في 2 أيام؟

للإجابة على هذا السؤال، نحتاج أولاً إلى معرفة معدل الإنتاج اليومي لكل آلة. إذا كانت 5 آلات تنتج x وحدة في 4 أيام، فإن معدل الإنتاج اليومي للآلة الواحدة هو (x / 4) / 5.

الآن، لنحسب كم آلة يلزم لإنتاج 2x وحدة في 2 أيام. يمكننا استخدام نفس معدل الإنتاج اليومي للآلة وضربه في عدد الأيام. إذا كان معدل الإنتاج اليومي للآلة الواحدة هو (x / 4) / 5، فإن الإنتاج اليومي لـ n آلات (حيث n هو العدد الذي نبحث عنه) هو n * (x / 4) / 5.

ونريد أن يكون هذا الإنتاج يساوي 2x وحدة في 2 أيام، لذا نضرب الإنتاج اليومي في عدد الأيام:
n * (x / 4) / 5 * 2 = 2x

الآن نقوم بحساب قيمة n:
n = (2x * 5) / (x * 2 / 4)

نقوم بتبسيط الكسر:
n = 10 / (x / 2)
n = 20 / x

إذاً، يمكن لـ 20 / x آلة أن تنتج إجمالي قدره 2x وحدة من المنتج P في 2 أيام.

لحل هذه المسألة، قمنا باستخدام مفهوم العمل ومعدل الإنتاج، وتطبيق قانون العمل والزمن. القوانين المستخدمة هي:

1. قانون العمل والزمن:
   ينص على أن كمية العمل يتناسب طرديًا مع عدد الوحدات الزمنية.

   $عمل = معدل الإنتاج \times الزمن$

2. توزيع العمل لعدة متغيرات:
   عندما يعمل العديد من العناصر (مثل الآلات في هذه المسألة) بشكل مستقل وفعّال، يمكن توزيع العمل بينها بتناسب.

   $عمل العنصر الواحد = (معدل الإنتاج \times الزمن) / عدد العناصر$

   حيث يُستخدم معدل الإنتاج اليومي للعنصر الواحد.

3. تطبيق القانون:
   نستخدم قوانين العمل والزمن لحساب كمية العمل اللازمة لإنتاج كمية محددة من المنتج في زمن معين.

   $عمل = معدل الإنتاج \times الزمن$

   ثم نستخدم توزيع العمل لحساب كمية العمل التي يقوم بها كل عنصر بشكل فردي.

4. حساب العدد المطلوب:
   نستخدم العدد المعرف في السؤال (عدد الآلات) للعثور على الإجابة عن السؤال.

حسنًا، بناءً على هذه القوانين، نقوم بتطبيقها على المسألة:

أولاً، نستخدم قانون العمل والزمن لحساب العمل الذي يقوم به الآلات في الزمن المعطى:

$عمل = معدل الإنتاج \times الزمن$

ثم نستخدم توزيع العمل لحساب العمل الذي يقوم به كل آلة بشكل فردي:

$عمل العنصر الواحد = \frac{معدل الإنتاج \times الزمن}{عدد العناصر}$

وأخيرًا، نستخدم هذا العمل الفردي لحساب العدد الإجمالي للآلات المطلوبة:

$عدد العناصر = \frac{عمل العنصر الواحد}{معدل الإنتاج \times الزمن / 2x}$

نقوم بتبسيط العبارات ونحسب القيم للوصول إلى الناتج النهائي.