حساب عدد أضلاع المضلع من خلال عدد القطرات (مسألة رياضيات)

عندما يحتوي مضلع منتظم على مجموع تسعة قطرات، فإن عدد الأضلاع فيه يكون قدره خمسة.

لحل هذه المسألة، يمكن استخدام الصيغة العامة لحساب عدد القطرات في مضلع منتظم، والتي يمكن تعبيرها بالعلاقة:

$D = \frac{n(n-3)}{2}$

حيث $D$ هو إجمالي عدد القطرات، و $n$ هو عدد الأضلاع في المضلع. في هذه المسألة، نعلم أن $D = 9$. لحل المعادلة والعثور على قيمة $n$، نقوم بتعويض القيم في الصيغة:

$9 = \frac{n(n-3)}{2}$

نضرب في 2 للتخلص من المقام في المعادلة:

$18 = n(n-3)$

ثم نقوم بتوسيع المعادلة:

$n^2 – 3n – 18 = 0$

الآن، يمكن حل هذه المعادلة باستخدام طريقة الجذور، أو عبر الوسائل الأخرى. في هذه الحالة، يمكن تحليل المعادلة إلى:

$(n-6)(n+3) = 0$

من هنا، نجد أن إما $n-6 = 0$ أو $n+3 = 0$. إذا كان $n-6 = 0$، فإن $n = 6$، ولكن يجب أن يكون عدد الأضلاع إيجابيًا، لذا نستبعد هذا الحالة. أما إذا كان $n+3 = 0$، فإن $n = -3$، ولكن لا يمكن أن يكون عدد الأضلاع سالبًا، لذا نستبعد هذا الحالة أيضًا.

لذلك، الحل الوحيد هو $n = 6$، وبالتالي، يكون لدينا مضلع منتظم بستة أضلاع.

لحل هذه المسألة، سنستخدم القانون الذي يحسب عدد القطرات في مضلع منتظم، وهو:

$D = \frac{n(n-3)}{2}$

حيث:

• $D$ هو إجمالي عدد القطرات.
• $n$ هو عدد الأضلاع في المضلع.

في هذه المسألة، نعلم أن عدد القطرات هو 9، لذلك نقوم بتعويض هذه القيمة في القانون:

$9 = \frac{n(n-3)}{2}$

ثم نضرب في 2 للتخلص من المقام في المعادلة:

$18 = n(n-3)$

نقوم بتوسيع المعادلة:

$n^2 – 3n – 18 = 0$

الخطوة التالية هي حل المعادلة. يمكن استخدام العوامل أو الطريقة التقليدية لحساب الجذور. في هذه الحالة، يمكن تحليل المعادلة إلى:

$(n-6)(n+3) = 0$

من هنا، يتضح أن إما $n-6 = 0$ أو $n+3 = 0$. إذا كان $n-6 = 0$، فإن $n = 6$، ولكن يجب أن يكون عدد الأضلاع إيجابيًا، لذا نستبعد هذا الحالة. أما إذا كان $n+3 = 0$، فإن $n = -3$، ولكن لا يمكن أن يكون عدد الأضلاع سالبًا، لذا نستبعد هذا الحالة أيضًا.

لذلك، الحل الوحيد هو $n = 6$، وبالتالي، يكون لدينا مضلع منتظم بستة أضلاع.