حساب طول ضلع مثلث داخل مثلث (مسألة رياضيات)

نتوفر على مثلث متساوي الأضلاع $ABC$، ونفترض وجود نقطة $P$ داخل المثلث. توجد النقاط $Q$، $R$، و$S$ على التوالي على الأضلاع $AB$، $BC$، و$CA$، حيث تكون $Q$ قدم العمود المنسوب من $P$ على $AB$، و$R$ قدم العمود المنسوب من $P$ على $BC$، و$S$ قدم العمود المنسوب من $P$ على $CA$. معلوماتنا هي: $PQ = 1$، $PR = 2$، و$PS = 3$.

سنقوم بحساب طول أضلاع المثلث $ABC$ باستخدام مفهوم المثلثات المتشابهة وباستخدام النسبة بين طول الأضلاع في المثلثات المتشابهة.

لنبدأ بحساب طول الأضلع. لنلاحظ أنه بما أن $\triangle PQS$ مثلث قائم الزاوية في $Q$ و $PS$ هي الوتر، يمكننا استخدام نظرية بيثاغورث لحساب طول الوتر. إذاً:

$QS^2 = PQ^2 + PS^2$
$QS^2 = 1^2 + 3^2$
$QS^2 = 1 + 9$
$QS^2 = 10$
$QS = \sqrt{10}$

بنفس الطريقة، يمكننا حساب $QR$ بواسطة المثلث القائم $\triangle PQR$:
$QR^2 = PQ^2 + PR^2$
$QR^2 = 1^2 + 2^2$
$QR^2 = 1 + 4$
$QR^2 = 5$
$QR = \sqrt{5}$

وبناءً على مثليات المثلثات المتشابهة، يمكننا القول:
$\frac{AB}{QS} = \frac{BC}{QR} = \frac{CA}{PR}$

نحتاج إلى إيجاد طول الضلع $AB$. لذا سنركز على النسبة بين $AB$ و$QS$.
$\frac{AB}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}$

بالتالي،
$AB = \sqrt{5}$

إذاً، طول ضلع المثلث $ABC$ هو $\sqrt{5}$ بالإشارة إلى الجذر.

لحل المسألة، استخدمنا مجموعة من القوانين الهندسية والرياضية. الأساس هو استخدام مفهوم المثلثات المتشابهة وقانون بيثاغورث.

1. قانون بيثاغورث: يُستخدم لحساب طول الوتر في مثلث قائم الزاوية. يقول القانون أن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعات طول الضلعين الآخرين.

2. مثلثات متشابهة: عندما تكون نسب طول الأضلاع في مثلثين متشابهين متساوية، فإن نسب الأضلاع المتشابهة تتساوى أيضًا.

الخطوات لحساب طول الضلع $AB$ في المثلث $ABC$:

1. استخدمنا قانون بيثاغورث في المثلث القائم $\triangle PQS$ لحساب طول الوتر $QS$.

2. باستخدام المثلث القائم $\triangle PQR$، حسبنا طول الضلع $QR$.

3. ثم استخدمنا مفهوم المثلثات المتشابهة لإنشاء نسب بين طولي الأضلاع في المثلثات.

4. حسبنا نسبة الضلع $AB$ إلى الوتر $QS$ والضلع $BC$ إلى الضلع $QR$.

5. بعد ذلك، حسبنا طول الضلع $AB$ بناءً على النسبة المستخدمة والقيم المعطاة لطول الأضلاع الأخرى.

بهذه الطريقة، تمكنا من حساب طول الضلع $AB$ بشكل دقيق وفقًا للمعلومات المعطاة في المسألة، والذي يساوي $\sqrt{5}$.